Google
Câu hỏi: Biết phương trình $\log _{2}^{2}\left( {{x}^{2}}+1 \right)-m{{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}+1 \right)+8-m=0$ có đúng 3 nghiệm thực phân biệt. Hỏi $m$ thuộc khoảng nào?
A. $\left( 21;28 \right)$
B. $\left( 15;21 \right)$
C. $\left( -10;1 \right)$
D. $\left( 1;9 \right)$
A. $\left( 21;28 \right)$
B. $\left( 15;21 \right)$
C. $\left( -10;1 \right)$
D. $\left( 1;9 \right)$
Phương pháp:
Đặt ẩn phụ $t={{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}+1 \right)\ge 0,$ đưa về phương trình bậc hai ẩn $t$ và biện luận.
Cách giải:
Đặt $t={{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}+1 \right)\ge {{\log }_{2}}1=0,$ phương trình đã cho trở thành ${{t}^{2}}-mt+8-m=0\left( 1 \right)$
Để phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt thì phương trình (1) có 2 nghiệm thỏa mãn $\left\{ \begin{aligned}
& {{t}_{1}}=0 \\
& {{t}_{2}}>0 \\
\end{aligned} \right..$
Thay $t=0$ vào (1) ta có $m=8.$ Thử lại với $m=8$ thì $\left( 1 \right)\Leftrightarrow {{t}^{2}}-8t=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=0 \\
& t=8 \\
\end{aligned} \right.\left( tm \right).$
Vậy $m=8\in \left( 1;9 \right).$
Đặt ẩn phụ $t={{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}+1 \right)\ge 0,$ đưa về phương trình bậc hai ẩn $t$ và biện luận.
Cách giải:
Đặt $t={{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}+1 \right)\ge {{\log }_{2}}1=0,$ phương trình đã cho trở thành ${{t}^{2}}-mt+8-m=0\left( 1 \right)$
Để phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt thì phương trình (1) có 2 nghiệm thỏa mãn $\left\{ \begin{aligned}
& {{t}_{1}}=0 \\
& {{t}_{2}}>0 \\
\end{aligned} \right..$
Thay $t=0$ vào (1) ta có $m=8.$ Thử lại với $m=8$ thì $\left( 1 \right)\Leftrightarrow {{t}^{2}}-8t=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=0 \\
& t=8 \\
\end{aligned} \right.\left( tm \right).$
Vậy $m=8\in \left( 1;9 \right).$
Đáp án D.