Biết nửa khoảng $S=\left[ {{p}^{m}};{{p}^{n}} \right) \left(...

Ta có: $(3^{x^2-2x}-27)(5^{x^2}-y)\le 0$ (1)
Trường hợp 1: Xét $3^{x^2-2x}-27=0\iff x^2-2x-3=0\iff [\begin{array}{rl}& x=-1\\ & x=3\end{array}$ là nghiệm của bất phương trình (1)$\Rightarrow$không đủ 6 nghiệm.
Trường hợp 2: Xét $3^{x^2-2x}-27>0\iff x^2-2x-3>0\iff [\begin{array}{rl}& x<-1\\ & x>3\end{array}$.
Khi đó, $(1)\iff 5^{x^2}\le y\iff x^2\le {\log }_{5}y(2)$
Nếu $0<y<1$ thì (2) vô nghiệm $\Rightarrow$ không có $y$ thỏa mãn.
Nếu $y\ge 1$ thì $(2)\iff -\sqrt{{\log }_{5}y}\le x\le \sqrt{{\log }_{5}y}$.
Do đó, (1) có đúng $6$ nghiệm nguyên $x\in ((-\mathrm{\infty };-1)\cup (3;+\mathrm{\infty }))\cap [-\sqrt{{\log }_{5}y};\sqrt{{\log }_{5}y}]$ $\Rightarrow 4\le \sqrt{{\log }_{5}y}<5\iff 16\le {\log }_{5}y<25\iff 5^{16}\le y<5^{25}$. Suy ra $S=[5^{16};5^{25})(p,m,n\in {\mathbb{N}}^{\ast })$.
Trường hợp 3: Xét $3^{x^2-2x}-27<0\iff x^2-2x-3<0\iff -1<x<3$. Vì $(-1;3)$ chỉ có ba số nguyên nên không có giá trị $y$ nào để bất phương trình (1) có $6$ nghiệm nguyên.
Vậy $S=[5^{16};5^{25})(p,m,n\in {\mathbb{N}}^{\ast })$ Nên $m+n+p=16+25+5=46$.