Google
Câu hỏi: Biết nửa khoảng $S=\left[ {{p}^{m}};{{p}^{n}} \right) \left( p,m,n\in {{\mathbb{N}}^{*}} \right)$ là tập tất cả các số thực $y$ sao cho ứng với mỗi $y$ tồn tại đúng $6$ số nguyên $x$ thỏa mãn $\left( {{3}^{{{x}^{2}}-2x}}-27 \right)\left( {{5}^{{{x}^{2}}}}-y \right)\le 0$. Tổng $m+n+p$ bằng
A. $m+n+p=46$.
B. $m+n+p=66$.
C. $m+n+p=14$.
D. $m+n+p=30$.
A. $m+n+p=46$.
B. $m+n+p=66$.
C. $m+n+p=14$.
D. $m+n+p=30$.
Ta có: $\left( {{3}^{{{x}^{2}}-2x}}-27 \right)\left( {{5}^{{{x}^{2}}}}-y \right)\le 0$ (1)
Trường hợp 1: Xét ${{3}^{{{x}^{2}}-2x}}-27=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2x-3=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-1 \\
& x=3 \\
\end{aligned} \right. $ là nghiệm của bất phương trình (1)$ \Rightarrow $không đủ 6 nghiệm.
Trường hợp 2: Xét ${{3}^{{{x}^{2}}-2x}}-27>0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2x-3>0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x<-1 \\
& x>3 \\
\end{aligned} \right.$.
Khi đó, $(1)\Leftrightarrow {{5}^{{{x}^{2}}}}\le y\Leftrightarrow {{x}^{2}}\le {{\log }_{5}}y (2)$
Nếu $0<y<1$ thì (2) vô nghiệm $\Rightarrow $ không có $y$ thỏa mãn.
Nếu $y\ge 1$ thì $(2)\Leftrightarrow -\sqrt{{{\log }_{5}}y}\le x\le \sqrt{{{\log }_{5}}y}$.
Do đó, (1) có đúng $6$ nghiệm nguyên $x\in \left( \left( -\infty ;-1 \right)\cup \left( 3;+\infty \right) \right)\cap \left[ -\sqrt{{{\log }_{5}}y};\sqrt{{{\log }_{5}}y} \right]$ $\Rightarrow 4\le \sqrt{{{\log }_{5}}y}<5\Leftrightarrow 16\le {{\log }_{5}}y<25\Leftrightarrow {{5}^{16}}\le y<{{5}^{25}}$. Suy ra $S=\left[ {{5}^{16}};{{5}^{25}} \right) \left( p,m,n\in {{\mathbb{N}}^{*}} \right)$.
Trường hợp 3: Xét ${{3}^{{{x}^{2}}-2x}}-27<0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2x-3<0\Leftrightarrow -1<x<3$. Vì $\left( -1;3 \right)$ chỉ có ba số nguyên nên không có giá trị $y$ nào để bất phương trình (1) có $6$ nghiệm nguyên.
Vậy $S=\left[ {{5}^{16}};{{5}^{25}} \right) \left( p,m,n\in {{\mathbb{N}}^{*}} \right)$ Nên $m+n+p=16+25+5=46$.
Trường hợp 1: Xét ${{3}^{{{x}^{2}}-2x}}-27=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2x-3=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-1 \\
& x=3 \\
\end{aligned} \right. $ là nghiệm của bất phương trình (1)$ \Rightarrow $không đủ 6 nghiệm.
Trường hợp 2: Xét ${{3}^{{{x}^{2}}-2x}}-27>0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2x-3>0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x<-1 \\
& x>3 \\
\end{aligned} \right.$.
Khi đó, $(1)\Leftrightarrow {{5}^{{{x}^{2}}}}\le y\Leftrightarrow {{x}^{2}}\le {{\log }_{5}}y (2)$
Nếu $0<y<1$ thì (2) vô nghiệm $\Rightarrow $ không có $y$ thỏa mãn.
Nếu $y\ge 1$ thì $(2)\Leftrightarrow -\sqrt{{{\log }_{5}}y}\le x\le \sqrt{{{\log }_{5}}y}$.
Do đó, (1) có đúng $6$ nghiệm nguyên $x\in \left( \left( -\infty ;-1 \right)\cup \left( 3;+\infty \right) \right)\cap \left[ -\sqrt{{{\log }_{5}}y};\sqrt{{{\log }_{5}}y} \right]$ $\Rightarrow 4\le \sqrt{{{\log }_{5}}y}<5\Leftrightarrow 16\le {{\log }_{5}}y<25\Leftrightarrow {{5}^{16}}\le y<{{5}^{25}}$. Suy ra $S=\left[ {{5}^{16}};{{5}^{25}} \right) \left( p,m,n\in {{\mathbb{N}}^{*}} \right)$.
Trường hợp 3: Xét ${{3}^{{{x}^{2}}-2x}}-27<0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2x-3<0\Leftrightarrow -1<x<3$. Vì $\left( -1;3 \right)$ chỉ có ba số nguyên nên không có giá trị $y$ nào để bất phương trình (1) có $6$ nghiệm nguyên.
Vậy $S=\left[ {{5}^{16}};{{5}^{25}} \right) \left( p,m,n\in {{\mathbb{N}}^{*}} \right)$ Nên $m+n+p=16+25+5=46$.
Đáp án A.