Google
Câu hỏi: Biết $m={{m}_{0}}; {{m}_{0}}\in \mathbb{R}$ là giá trị của tham số m để đồ thị hàm số $y={{x}^{4}}+2m{{x}^{2}}+1$ có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. ${{m}_{0}}\in \left( 0; 3 \right)$
B. ${{m}_{0}}\in \left[ -5; -3 \right)$
C. ${{m}_{0}}\in \left( -3; 0 \right]$
D. ${{m}_{0}}\in \left( 3; 7 \right)$
A. ${{m}_{0}}\in \left( 0; 3 \right)$
B. ${{m}_{0}}\in \left[ -5; -3 \right)$
C. ${{m}_{0}}\in \left( -3; 0 \right]$
D. ${{m}_{0}}\in \left( 3; 7 \right)$
Cách 1: Ta có ${y}'=4{{x}^{3}}+4mx$
Xét phương trình ${y}'=0\Leftrightarrow 4{{x}^{3}}+4mx=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& {{x}^{2}}=-m \\
\end{aligned} \right.$
Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi $m<0$. Khi đó 3 điểm cực trị là $A\left( 0 & ; 1 \right), B\left( \sqrt{-m}; 1-{{m}^{2}} \right), C\left( -\sqrt{-m}; 1-{{m}^{2}} \right)$
Ta thấy ∆ABC cân tại A nên ∆ABC vuông khi và chỉ khi ∆ABC vuông cân tại A
Do đó $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=0\Leftrightarrow m+{{m}^{4}}=0\Leftrightarrow m\left( 1+{{m}^{3}} \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=0 \\
& m=-1 \\
\end{aligned} \right.$
Kết hợp $m<0$ ta có $m=-1$
Cách 2: (Dùng công thức tính nhanh).
Gọi A, B, C là ba điểm cực trị của đồ thị hàm số.
∆ABC vuông cân $\Rightarrow {{b}^{3}}=-8a\Rightarrow {{\left( 2m \right)}^{3}}=-8\Rightarrow {{m}^{3}}=-1\Rightarrow m=-1$
Xét phương trình ${y}'=0\Leftrightarrow 4{{x}^{3}}+4mx=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& {{x}^{2}}=-m \\
\end{aligned} \right.$
Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi $m<0$. Khi đó 3 điểm cực trị là $A\left( 0 & ; 1 \right), B\left( \sqrt{-m}; 1-{{m}^{2}} \right), C\left( -\sqrt{-m}; 1-{{m}^{2}} \right)$
Ta thấy ∆ABC cân tại A nên ∆ABC vuông khi và chỉ khi ∆ABC vuông cân tại A
Do đó $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=0\Leftrightarrow m+{{m}^{4}}=0\Leftrightarrow m\left( 1+{{m}^{3}} \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=0 \\
& m=-1 \\
\end{aligned} \right.$
Kết hợp $m<0$ ta có $m=-1$
Cách 2: (Dùng công thức tính nhanh).
Gọi A, B, C là ba điểm cực trị của đồ thị hàm số.
∆ABC vuông cân $\Rightarrow {{b}^{3}}=-8a\Rightarrow {{\left( 2m \right)}^{3}}=-8\Rightarrow {{m}^{3}}=-1\Rightarrow m=-1$
Đáp án C.