Google
Câu hỏi: Biết ${{m}_{0}}$ là giá trị của tham số thực $m$ để hàm số $y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+mx-1$ có hai điểm cực trị ${{x}_{1}}$, ${{x}_{2}}$ sao cho $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-{{x}_{1}}{{x}_{2}}=3$. Khi đó ${{m}_{0}}$ thuộc khoảng nào trong các khoảng dưới đây?
A. $\left( 2; 4 \right)$.
B. $\left( -4; -2 \right)$.
C. $\left( 0; 2 \right)$.
D. $\left( -2; 0 \right)$.
A. $\left( 2; 4 \right)$.
B. $\left( -4; -2 \right)$.
C. $\left( 0; 2 \right)$.
D. $\left( -2; 0 \right)$.
Ta có ${y}'=3{{x}^{2}}-6x+m$.
Hàm số đã cho có hai điểm cực trị $\Leftrightarrow {y}'=0$ có hai nghiệm phân biệt
$\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-6x+m=0$ có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow {\Delta }'=9-3m>0\Leftrightarrow m<3 \left( * \right)$.
Theo định lý Viét ta có $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2 \\
& {{x}_{1}}{{x}_{2}}=\dfrac{m}{3} \\
\end{aligned} \right.$.
Theo bài $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-{{x}_{1}}{{x}_{2}}=3\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-3{{x}_{1}}{{x}_{2}}=3\Leftrightarrow 4-m=3\Leftrightarrow m=1$ (thỏa mãn (*)).
Vậy $m\in \left( 0; 2 \right)$.
Hàm số đã cho có hai điểm cực trị $\Leftrightarrow {y}'=0$ có hai nghiệm phân biệt
$\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-6x+m=0$ có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow {\Delta }'=9-3m>0\Leftrightarrow m<3 \left( * \right)$.
Theo định lý Viét ta có $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2 \\
& {{x}_{1}}{{x}_{2}}=\dfrac{m}{3} \\
\end{aligned} \right.$.
Theo bài $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-{{x}_{1}}{{x}_{2}}=3\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-3{{x}_{1}}{{x}_{2}}=3\Leftrightarrow 4-m=3\Leftrightarrow m=1$ (thỏa mãn (*)).
Vậy $m\in \left( 0; 2 \right)$.
Đáp án C.