Google
Câu hỏi: Biết $\left[ a;b \right]$ là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình ${{\log }_{2}}\sqrt{{{x}^{2}}-2x+m}+4\sqrt{{{\log }_{4}}\left( {{x}^{2}}-2x+m \right)}\le 5$ thỏa mãn với mọi x thuộc $\left[ 0;2 \right]$. Tính $a+b.$
A. $a+b=4.$
B. $a+b=2.$
C. $a+b=0.$
D. $a+b=6.$
A. $a+b=4.$
B. $a+b=2.$
C. $a+b=0.$
D. $a+b=6.$
Bất phương trình đã cho tương đương
${{\log }_{4}}\left( {{x}^{2}}-2x+m \right)+4\sqrt{{{\log }_{4}}\left( {{x}^{2}}-2x+m \right)}\le 5$
Đặt $t=\sqrt{{{\log }_{4}}\left( {{x}^{2}}-2x+m \right)},t\ge 0.$
Bất phương trình trở thành ${{t}^{2}}+4t-5\le 0\Leftrightarrow -5\le t\le 1.$
Kết hợp điều kiện ta được $t\in \left[ 0;1 \right].$
Khi đó: $0\le \sqrt{{{\log }_{4}}\left( {{x}^{2}}-2x+m \right)}\le 1\Leftrightarrow 0\le {{\log }_{4}}\left( {{x}^{2}}-2x+m \right)\le 1$
$\Leftrightarrow 1\le {{x}^{2}}-2x+m\le 4\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m\ge -{{x}^{2}}+2x+1 \\
& m\le -{{x}^{2}}+2x+4 \\
\end{aligned} \right.\left( I \right)$
+ Xét hàm $f\left( x \right)=-{{x}^{2}}+2x+1=2-{{\left( x-1 \right)}^{2}}\le 2\forall x\in \left[ 0;2 \right]\Rightarrow \underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{\max }} f\left( x \right)=2.$
+ Xét hàm $g\left( x \right)=-{{x}^{2}}+2x+4=4+x\left( 2-x \right)\ge 4\forall x\in \left[ 0;2 \right]\Rightarrow \underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{\min }} g\left( x \right)=4.$
Bất phương trình nghiệm đúng với mọi x thuộc $\left[ 0;2 \right]\Leftrightarrow \left( I \right)$ nghiệm đúng với mọi
$x\in \left[ 0;2 \right]\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m\ge \underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{\max }} f\left( x \right) \\
& m\le \underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{\min }} g\left( x \right) \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow 2\le m\le 4.$
Vậy $m\in \left[ 2;4 \right]$, tức $a=2,b=4$. Vậy $a+b=6.$
${{\log }_{4}}\left( {{x}^{2}}-2x+m \right)+4\sqrt{{{\log }_{4}}\left( {{x}^{2}}-2x+m \right)}\le 5$
Đặt $t=\sqrt{{{\log }_{4}}\left( {{x}^{2}}-2x+m \right)},t\ge 0.$
Bất phương trình trở thành ${{t}^{2}}+4t-5\le 0\Leftrightarrow -5\le t\le 1.$
Kết hợp điều kiện ta được $t\in \left[ 0;1 \right].$
Khi đó: $0\le \sqrt{{{\log }_{4}}\left( {{x}^{2}}-2x+m \right)}\le 1\Leftrightarrow 0\le {{\log }_{4}}\left( {{x}^{2}}-2x+m \right)\le 1$
$\Leftrightarrow 1\le {{x}^{2}}-2x+m\le 4\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m\ge -{{x}^{2}}+2x+1 \\
& m\le -{{x}^{2}}+2x+4 \\
\end{aligned} \right.\left( I \right)$
+ Xét hàm $f\left( x \right)=-{{x}^{2}}+2x+1=2-{{\left( x-1 \right)}^{2}}\le 2\forall x\in \left[ 0;2 \right]\Rightarrow \underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{\max }} f\left( x \right)=2.$
+ Xét hàm $g\left( x \right)=-{{x}^{2}}+2x+4=4+x\left( 2-x \right)\ge 4\forall x\in \left[ 0;2 \right]\Rightarrow \underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{\min }} g\left( x \right)=4.$
Bất phương trình nghiệm đúng với mọi x thuộc $\left[ 0;2 \right]\Leftrightarrow \left( I \right)$ nghiệm đúng với mọi
$x\in \left[ 0;2 \right]\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m\ge \underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{\max }} f\left( x \right) \\
& m\le \underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{\min }} g\left( x \right) \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow 2\le m\le 4.$
Vậy $m\in \left[ 2;4 \right]$, tức $a=2,b=4$. Vậy $a+b=6.$
Đáp án D.