Biết $\int\limits_{3}^{4}{\dfrac{d\text{x}}{(x+1)(x-2)}}=a\ln...

The Knowledge · 7/1/22

Câu hỏi: Biết

\int_{3}^{4} \frac{d x}{(x + 1) (x - 2)} = a \ln 2 + b \ln 5 + c

, với a, b, c là các số hữu tỉ. Tính

S = a - 3 b + c

.
A.

S = 3

B.

S = 2

C.

S = - 2

D.

S = 0

Áp dụng công thức giải nhanh:

I = \int_{α}^{β} \frac{d x}{(a x + b) (c x + d)} = {\frac{1}{a d - b c} \ln | \frac{a x + b}{c x + d} | |}_{α}^{β}

.
Ta có:

\int_{3}^{4} \frac{d x}{(x + 1) (x - 2)} = {\frac{1}{- 3} \ln | \frac{x + 1}{x - 2} | |}_{3}^{4} = - \frac{1}{3} \ln \frac{5}{8} = - \frac{1}{3} (\ln 5 - 3 \ln 2)

= \ln 2 - \frac{1}{3} \ln 5 = a \ln 2 + b \ln 5 + c

.
Suy ra

a = 1; b = - \frac{1}{3}; c = 0 \Rightarrow a - 3 b + c = 1 + 1 = 2

.
Chú ý: Ta có công thức giải nhanh:

I = \int_{α}^{β} \frac{d x}{(a x + b) (c x + d)} = {\frac{1}{a d - b c} \ln | \frac{a x + b}{c x + d} | |}_{α}^{β}

Đáp án B.