Google
Câu hỏi: Biết $\int\limits_{1}^{e}{\dfrac{\ln x}{x\sqrt{1+\ln x}}dx=a+b\sqrt{2}}$ với $a,b$ là các số hữu tỷ. Tính $S=a+b$.
A. $S=1$.
B. $S=\dfrac{1}{2}$.
C. $S=\dfrac{3}{4}$.
D. $S=\dfrac{2}{3}$.
Đổi cận $\left\{ \begin{aligned}
& x=1\to t=1 \\
& x=e\to t=\sqrt{2} \\
\end{aligned} \right.$
Vậy . $\int\limits_{1}^{e}{\dfrac{\ln x}{x\sqrt{1+\ln x}}dx=\int\limits_{1}^{\sqrt{2}}{\dfrac{\left( {{t}^{2}}-1 \right)2tdt}{t}}}=2\int\limits_{1}^{\sqrt{2}}{\left( {{t}^{2}}-1 \right)dt}=2\left. \left( \dfrac{{{t}^{3}}}{3}-t \right) \right|_{1}^{\sqrt{2}}=\dfrac{4}{3}-\dfrac{2}{3}\sqrt{2}$
Suy ra $a=\dfrac{4}{3}; b=-\dfrac{2}{3}\Rightarrow S=a+b=\dfrac{2}{3}$
A. $S=1$.
B. $S=\dfrac{1}{2}$.
C. $S=\dfrac{3}{4}$.
D. $S=\dfrac{2}{3}$.
Đặt $\sqrt{1+\ln x}=t\Rightarrow \ln x={{t}^{2}}-1\Rightarrow \dfrac{dx}{x}=2tdt$ Đổi cận $\left\{ \begin{aligned}
& x=1\to t=1 \\
& x=e\to t=\sqrt{2} \\
\end{aligned} \right.$
Vậy . $\int\limits_{1}^{e}{\dfrac{\ln x}{x\sqrt{1+\ln x}}dx=\int\limits_{1}^{\sqrt{2}}{\dfrac{\left( {{t}^{2}}-1 \right)2tdt}{t}}}=2\int\limits_{1}^{\sqrt{2}}{\left( {{t}^{2}}-1 \right)dt}=2\left. \left( \dfrac{{{t}^{3}}}{3}-t \right) \right|_{1}^{\sqrt{2}}=\dfrac{4}{3}-\dfrac{2}{3}\sqrt{2}$
Suy ra $a=\dfrac{4}{3}; b=-\dfrac{2}{3}\Rightarrow S=a+b=\dfrac{2}{3}$
Đáp án D.