Google
Câu hỏi: . Biết $\int\limits_{1}^{e}{\dfrac{\ln x}{x\left( \ln x+2 \right)}\text{d}x=a\ln 3+b\ln 2+c,(a,b,c\in Q).}$ Tính giá trị của $S={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}.$
A. $S=6.$
B. $S=14.$
C. $S=10.$
D. $S=9.$
A. $S=6.$
B. $S=14.$
C. $S=10.$
D. $S=9.$
Đặt $t=\ln x\Rightarrow dt=\dfrac{dx}{x}$. Đổi cận $\left[ \begin{aligned}
& x=1\Rightarrow t=0 \\
& x=e\Rightarrow t=1 \\
\end{aligned} \right.$.
Khi đó $\int\limits_{1}^{e}{\dfrac{\ln x}{x\left( \ln x+2 \right)}dx}=\int\limits_{0}^{1}{\dfrac{t}{t+2}dt}=\left. \left( t-2\ln \left| t+2 \right| \right) \right|_{0}^{1}=-2\ln 3+2\ln 2+1$
Suy ra $a=-2,b=2,c=1\Rightarrow S={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=9$.
& x=1\Rightarrow t=0 \\
& x=e\Rightarrow t=1 \\
\end{aligned} \right.$.
Khi đó $\int\limits_{1}^{e}{\dfrac{\ln x}{x\left( \ln x+2 \right)}dx}=\int\limits_{0}^{1}{\dfrac{t}{t+2}dt}=\left. \left( t-2\ln \left| t+2 \right| \right) \right|_{0}^{1}=-2\ln 3+2\ln 2+1$
Suy ra $a=-2,b=2,c=1\Rightarrow S={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=9$.
Đáp án D.