Biết $\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{4}}{\dfrac{1}{1+\tan...

Phương pháp:
- Sử dụng công thức $\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$, quy đồng.
- Phân tích $\cos x=A\left( \sin x+\cos x \right)+B\left( \cos x-\sin x \right)$, sử dụng phương pháp đồng nhất tìm hệ số A,B.
- Sử dụng các nguyên hàm cơ bản: $\int{d}x=x+C,\int{\dfrac{dx}{x}}=\ln |x|+C$
Cách giải:
Ta có $I=\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{4}}{\dfrac{1}{1+\tan x}}dx=\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{4}}{\dfrac{\cos x}{\sin x+\cos x}}dx$
Đặt $\cos x=A\left( \sin x+\cos x \right)+B\left( \cos x-\sin x \right)$
$\Leftrightarrow \cos x=\left( A-B \right)\sin x+\left( A+B \right)\cos x$
Đồng nhất hệ số ta được: $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
A-B=0 \\
A+B=1 \\
\end{array}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
A=\dfrac{1}{2} \\
B=\dfrac{1}{2} \\
\end{array} \right. \right.$
Khi đó ta có:
$I=\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{4}}{\dfrac{\dfrac{1}{2}(\sin x+\cos x)+\dfrac{1}{2}(\cos x-\sin x)}{\sin x+\cos x}}dx$
$I=\dfrac{1}{2}\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{4}}{\dfrac{\sin x+\cos x}{\sin x+\cos x}}dx+\dfrac{1}{2}\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{4}}{\dfrac{\cos x-\sin x}{\sin x+\cos x}}dx$
$I=\dfrac{1}{2}\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{4}}{d}x+\dfrac{1}{2}\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{4}}{\dfrac{{{(\sin x+\cos x)}^{\prime }}}{\sin x+\cos x}}dx$
$I=\dfrac{1}{2}x|_{0}^{\dfrac{\pi }{4}}+\left. \dfrac{1}{2}\ln |\sin x+\cos x| \right|_{0}^{\dfrac{\pi }{4}}$
$I=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{\pi }{4}+\dfrac{1}{2}\ln \sqrt{2}=\dfrac{\pi }{8}+\dfrac{1}{4}\ln 2$
$\Rightarrow a=\dfrac{1}{8},b=\dfrac{1}{4}$
Vậy $\dfrac{a}{b}=\dfrac{1}{8}:\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{2}$
.