Google
Câu hỏi: Biết $\int\limits_{0}^{1}{\dfrac{x+2}{{{x}^{2}}+4x+7}dx}=a\ln \sqrt{12}+b\ln \sqrt{7},$ với a, b là các số nguyên, khi đó ${{a}^{3}}+{{b}^{3}}$ bằng.
A. -9.
B. 0.
C. 9.
D. 1.
A. -9.
B. 0.
C. 9.
D. 1.
Đặt $t={{x}^{2}}+4x+7\Rightarrow dt=\left( 2x+4 \right)dx\Rightarrow \left( x+2 \right)dx=\dfrac{1}{2}dt.$
Đổi cận: $x=0\Rightarrow t=7;x=1\Rightarrow t=12.$
$\int\limits_{0}^{1}{\dfrac{x+2}{{{x}^{2}}+4x+7}}dx=\int\limits_{7}^{12}{\dfrac{1}{2t}dt}=\dfrac{1}{2}\ln \left. \left| t \right| \right|_{7}^{12}=\dfrac{1}{2}\ln \sqrt{12}-\dfrac{1}{2}\ln 7=\ln \sqrt{12}-\ln \sqrt{7}\Rightarrow a=1;b=-1.$
Vậy ${{a}^{3}}+{{b}^{3}}=0.$
Đổi cận: $x=0\Rightarrow t=7;x=1\Rightarrow t=12.$
$\int\limits_{0}^{1}{\dfrac{x+2}{{{x}^{2}}+4x+7}}dx=\int\limits_{7}^{12}{\dfrac{1}{2t}dt}=\dfrac{1}{2}\ln \left. \left| t \right| \right|_{7}^{12}=\dfrac{1}{2}\ln \sqrt{12}-\dfrac{1}{2}\ln 7=\ln \sqrt{12}-\ln \sqrt{7}\Rightarrow a=1;b=-1.$
Vậy ${{a}^{3}}+{{b}^{3}}=0.$
Đáp án B.