Biết $\int\limits_{0}^{1}{\dfrac{3x-1}{{{x}^{2}}+6x+9}dx}=3\ln \dfrac{a}{b}-\dfrac{5}{6},$ trong đó $a, b$ là các số nguyên dương và...

Phương pháp:
- Biến đổi $\dfrac{3x-1}{{{x}^{2}}+6x+9}=\dfrac{A}{{{\left(x+3 \right)}^{2}}}+\dfrac{B}{x+3},$ tìm $A, B.$
- Sử dụng các công thức tính nguyên hàm mở rộng: $\int\limits_{{}}^{{}}{\dfrac{dx}{{{\left(ax+b \right)}^{2}}}=-\dfrac{1}{a}.\dfrac{1}{ax+b}}+C,\int\limits_{{}}^{{}}{\dfrac{dx}{ax+b}}=\dfrac{1}{a}\ln \left| ax+b \right|+C.$
- Đồng nhất hệ số tìm $a, b$ và tính ${{a}^{2}}-{{b}^{2}}.$
Cách giải:
Ta có:
$\dfrac{3x-1}{{{x}^{2}}+6x+9}=\dfrac{3x-1}{{{\left(x+3 \right)}^{3}}}=\dfrac{A}{{{\left(x+3 \right)}^{2}}}+\dfrac{B}{x+3}$
$\Leftrightarrow \dfrac{3x-1}{{{x}^{2}}+6x+9}=\dfrac{A+B\left(x+3 \right)}{{{\left(x+3 \right)}^{2}}}$
$\Leftrightarrow \dfrac{3x-1}{{{x}^{2}}+6x+9}=\dfrac{Bx+A+3B}{{{\left(x+3 \right)}^{2}}}$
Đồng nhất hệ số ta có $\left\{ \begin{aligned}
& B=3 \\
& A+3B=-1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& B=3 \\
& A=-10 \\
\end{aligned} \right..$
$\Rightarrow \dfrac{3x-1}{{{x}^{2}}+6x+9}=-\dfrac{10}{{{\left(x+3 \right)}^{2}}}+\dfrac{3}{x+3}$
$\Rightarrow \int\limits_{0}^{1}{\dfrac{3x-1}{{{x}^{2}}+6x+9}dx}=-10\int\limits_{0}^{1}{\dfrac{dx}{{{\left(x+3 \right)}^{2}}}+3\int\limits_{0}^{1}{\dfrac{dx}{x+3}}}$
$\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{1}{\dfrac{3x-1}{{{x}^{2}}+6x+9}dx}=10.\dfrac{1}{x+3}\left| \begin{aligned}
& 1 \\
& 0 \\
\end{aligned} \right.+3\ln \left| x+3 \right|\left| \begin{aligned}
& 1 \\
& 0 \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{1}{\dfrac{3x-1}{{{x}^{2}}+6x+9}dx}=10\left(\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{3} \right)+3\left(\ln 4-\ln 3 \right)$
$\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{1}{\dfrac{3x-1}{{{x}^{2}}+6x+9}dx=3\ln \dfrac{4}{3}-\dfrac{5}{6}}$
Khi đó ta có $a=4, b=3.$
Vậy ${{a}^{2}}-{{b}^{2}}={{4}^{2}}-{{3}^{2}}=7.$