Biết $I=\int\limits_{1}^{e}{{{x}^{2}}\ln xdx=a{{e}^{3}}}+b$ với...

Phương pháp:
- Sử dụng tích phân từng phần, đặt $\left\{ \begin{aligned}
& u=\ln x \\
& dx={{x}^{2}}dx \\
\end{aligned} \right.$.
- Tính tích phân đã cho tìm a, b và kết luận.
Cách giải:
Đặt $\left\{ \begin{aligned}
& u=\ln x \\
& dx={{x}^{2}}dx \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& du=\dfrac{1}{x}dx \\
& v=\dfrac{{{x}^{3}}}{3} \\
\end{aligned} \right.$
$\begin{aligned}
& \Rightarrow I=\left( \dfrac{{{x}^{3}}}{3}\ln x \right)\left| \begin{aligned}
& e \\
& 1 \\
\end{aligned} \right.-\int\limits_{1}^{e}{\left( \dfrac{{{x}^{3}}}{3}.\dfrac{1}{x} \right)dx=\dfrac{{{e}^{3}}}{3}}-\dfrac{1}{3}\int\limits_{1}^{e}{{{x}^{2}}dx=}\dfrac{{{e}^{3}}}{3}-\dfrac{1}{3}.\dfrac{{{x}^{3}}}{3}\left| \begin{aligned}
& e \\
& 1 \\
\end{aligned} \right.=\dfrac{{{e}^{3}}}{3}-\dfrac{{{e}^{3}}}{9}+\dfrac{1}{9}=\dfrac{2{{e}^{3}}}{3}+\dfrac{1}{9} \\
& \Rightarrow a=\dfrac{2}{9}, b=\dfrac{1}{9}\Rightarrow 9\left( a+b \right)=3. \\
\end{aligned}$