Google
Câu hỏi: Biết $I=\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{\dfrac{x+x\cos x-{{\sin }^{3}}x}{1+\cos x}dx}=\dfrac{{{\pi }^{2}}}{a}-\dfrac{b}{c}.$ Trong đó $a,b,c$ là các số nguyên dương, phân số $\dfrac{b}{c}$ tối giản. Giá trị của biểu thức $T={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}$ là
A. $T=16.$
B. $T=59.$
C. $T=69.$
D. $T=50.$
A. $T=16.$
B. $T=59.$
C. $T=69.$
D. $T=50.$
Ta có $I=\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{\dfrac{x+x\cos x-{{\sin }^{3}}x}{1+\cos x}dx}$
$=\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{\left( x-\dfrac{{{\sin }^{3}}x}{1+\cos x} \right)dx}=\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{xdx}-\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{\left( 1-\cos x \right)\sin xdx}=\dfrac{{{\pi }^{2}}}{8}-\dfrac{1}{2}.$ Như vậy $a=8,b=1,c=2.$
Vậy $T={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=69.$
$=\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{\left( x-\dfrac{{{\sin }^{3}}x}{1+\cos x} \right)dx}=\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{xdx}-\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{\left( 1-\cos x \right)\sin xdx}=\dfrac{{{\pi }^{2}}}{8}-\dfrac{1}{2}.$ Như vậy $a=8,b=1,c=2.$
Vậy $T={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=69.$
Đáp án C.