Google
Câu hỏi: Biết hàm số $y=\dfrac{2\sin x-m\cos x}{\sin x+\cos x}$ đạt giá trị lớn nhất trên $\left[ 0;\dfrac{\pi }{4} \right]$ bằng 1. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. $m\in \left[ -1;0 \right)$.
B. $m\in \left[ 0;1 \right)$.
C. $m\in \left[ 1;2 \right)$.
D. $m\in \left[ 2;3 \right)$.
A. $m\in \left[ -1;0 \right)$.
B. $m\in \left[ 0;1 \right)$.
C. $m\in \left[ 1;2 \right)$.
D. $m\in \left[ 2;3 \right)$.
Ta có $x\in \left[ 0;\dfrac{\pi }{4} \right]\Rightarrow \cos x\ne 0$, suy ra: $y=\dfrac{2\sin x-m\cos x}{\sin x+\cos x}=\dfrac{2\tan x-m}{\tan x+1}$
Đặt $t=\tan x,x\in \left[ 0;\dfrac{\pi }{4} \right]\Rightarrow t\in \left[ 0;1 \right]$, hàm số có dạng: $y=\dfrac{2t-m}{t+1}$
Xét hàm số $y=\dfrac{2t-m}{t+1}$ trên đoạn $\left[ 0;1 \right]$. Ta có: ${y}'={{\left( \dfrac{2t-m}{t+1} \right)}^{\prime }}=\dfrac{2+m}{{{\left( t+1 \right)}^{2}}}$
Nếu $m>-2$ thì ${y}'>0$, hàm số đồng biến trên $\left[ 0;1 \right]$, suy ra:
$\underset{\left[ 0;1 \right]}{\mathop{\max }} y=f\left( 1 \right)=\dfrac{2-m}{2}\Leftrightarrow \dfrac{2-m}{2}=1\Leftrightarrow m=0$.
Nếu $m=-2$ thì $y=\dfrac{2t+2}{t+1}=2>1\forall t\in \left[ 0;1 \right]$. Vậy $m=-2$ không thỏa mãn.
Nếu $m<-2$ thì ${y}'<0$, hàm số nghịch biến trên $\left[ 0;1 \right]$, suy ra:
$\underset{\left[ 0;1 \right]}{\mathop{\max }} y=f\left( 0 \right)=-m\Leftrightarrow -m=1\Leftrightarrow m=-1$ (không thỏa mãn). Vậy $m=0$.
Đặt $t=\tan x,x\in \left[ 0;\dfrac{\pi }{4} \right]\Rightarrow t\in \left[ 0;1 \right]$, hàm số có dạng: $y=\dfrac{2t-m}{t+1}$
Xét hàm số $y=\dfrac{2t-m}{t+1}$ trên đoạn $\left[ 0;1 \right]$. Ta có: ${y}'={{\left( \dfrac{2t-m}{t+1} \right)}^{\prime }}=\dfrac{2+m}{{{\left( t+1 \right)}^{2}}}$
Nếu $m>-2$ thì ${y}'>0$, hàm số đồng biến trên $\left[ 0;1 \right]$, suy ra:
$\underset{\left[ 0;1 \right]}{\mathop{\max }} y=f\left( 1 \right)=\dfrac{2-m}{2}\Leftrightarrow \dfrac{2-m}{2}=1\Leftrightarrow m=0$.
Nếu $m=-2$ thì $y=\dfrac{2t+2}{t+1}=2>1\forall t\in \left[ 0;1 \right]$. Vậy $m=-2$ không thỏa mãn.
Nếu $m<-2$ thì ${y}'<0$, hàm số nghịch biến trên $\left[ 0;1 \right]$, suy ra:
$\underset{\left[ 0;1 \right]}{\mathop{\max }} y=f\left( 0 \right)=-m\Leftrightarrow -m=1\Leftrightarrow m=-1$ (không thỏa mãn). Vậy $m=0$.
Đáp án B.