Google
Câu hỏi: Biết hàm số $F\left( x \right)=\dfrac{{{x}^{5}}}{20}-\dfrac{{{x}^{4}}}{12}-\dfrac{2}{3}{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}+7x$ là nguyên hàm của hàm số $y=f\left( x \right)$. Gọi $y=g\left( x \right)$ là hàm số bậc hai có đồ thị đi qua ba điểm cực trị của đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường $y=f\left( x \right)$ và $y=g\left( x \right)$ bằng
A. $\dfrac{3479}{1073}$.
B. $\dfrac{1219}{126}$.
C. $\dfrac{378}{5}$.
D. $\dfrac{3778}{1215}$.
A. $\dfrac{3479}{1073}$.
B. $\dfrac{1219}{126}$.
C. $\dfrac{378}{5}$.
D. $\dfrac{3778}{1215}$.
Ta có $f\left( x \right)=F'\left( x \right)=\dfrac{{{x}^{4}}}{4}-\dfrac{{{x}^{3}}}{3}-2{{x}^{2}}+4x+7$.
$f'\left( x \right)={{x}^{3}}-{{x}^{2}}-4x+4$.
$f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow {{x}^{3}}-{{x}^{2}}-4x+4=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
x=-2\Rightarrow y=-\dfrac{7}{3}; A\left( -2;-\dfrac{7}{3} \right) \\
x=2\Rightarrow y=\dfrac{25}{13}; B\left( 2;\dfrac{25}{13} \right) \\
x=1\Rightarrow y=\dfrac{107}{12}; C\left( 1;\dfrac{107}{12} \right) \\
\end{matrix} \right.$.
Gọi $y=g\left( x \right)=a{{x}^{2}}+bx+c$ là đồ thị đi qua ba điểm cực trị của hàm số $y=f\left( x \right)$. Ta có:
$\left\{ \begin{matrix}
g\left( 1 \right)=\dfrac{107}{12} \\
g\left( 2 \right)=\dfrac{25}{13} \\
g\left( -2 \right)=-\dfrac{7}{3} \\
\end{matrix}\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
a+b+c=\dfrac{107}{12} \\
4a+2b+c=\dfrac{25}{3} \\
4a-2b+c=-\dfrac{7}{3} \\
\end{matrix}\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
a=-\dfrac{13}{12} \\
b=\dfrac{8}{3} \\
c=\dfrac{22}{3} \\
\end{matrix} \right. \right. \right.$.
Vậy $g\left( x \right)=-\dfrac{13}{12}{{x}^{2}}+\dfrac{8}{3}x+\dfrac{22}{3}$. Phương trình hoành độ giao điểm của $f\left( x \right)$ và $g\left( x \right)$ là:
$\Leftrightarrow \dfrac{{{x}^{4}}}{4}-\dfrac{{{x}^{3}}}{3}-\dfrac{11}{12}{{x}^{2}}+\dfrac{4}{3}x-\dfrac{1}{3}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
x=2 \\
x=1 \\
x=\dfrac{1}{3} \\
x=-2 \\
\end{matrix} \right.$.
Diện tích: $S=\int\limits_{-2}^{2}{\left| \dfrac{{{x}^{4}}}{4}-\dfrac{{{x}^{3}}}{3}-\dfrac{11}{12}{{x}^{2}}+\dfrac{4}{3}x-\dfrac{1}{3} \right|dx}=\dfrac{3778}{1215}$.
$f'\left( x \right)={{x}^{3}}-{{x}^{2}}-4x+4$.
$f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow {{x}^{3}}-{{x}^{2}}-4x+4=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
x=-2\Rightarrow y=-\dfrac{7}{3}; A\left( -2;-\dfrac{7}{3} \right) \\
x=2\Rightarrow y=\dfrac{25}{13}; B\left( 2;\dfrac{25}{13} \right) \\
x=1\Rightarrow y=\dfrac{107}{12}; C\left( 1;\dfrac{107}{12} \right) \\
\end{matrix} \right.$.
Gọi $y=g\left( x \right)=a{{x}^{2}}+bx+c$ là đồ thị đi qua ba điểm cực trị của hàm số $y=f\left( x \right)$. Ta có:
$\left\{ \begin{matrix}
g\left( 1 \right)=\dfrac{107}{12} \\
g\left( 2 \right)=\dfrac{25}{13} \\
g\left( -2 \right)=-\dfrac{7}{3} \\
\end{matrix}\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
a+b+c=\dfrac{107}{12} \\
4a+2b+c=\dfrac{25}{3} \\
4a-2b+c=-\dfrac{7}{3} \\
\end{matrix}\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
a=-\dfrac{13}{12} \\
b=\dfrac{8}{3} \\
c=\dfrac{22}{3} \\
\end{matrix} \right. \right. \right.$.
Vậy $g\left( x \right)=-\dfrac{13}{12}{{x}^{2}}+\dfrac{8}{3}x+\dfrac{22}{3}$. Phương trình hoành độ giao điểm của $f\left( x \right)$ và $g\left( x \right)$ là:
$\Leftrightarrow \dfrac{{{x}^{4}}}{4}-\dfrac{{{x}^{3}}}{3}-\dfrac{11}{12}{{x}^{2}}+\dfrac{4}{3}x-\dfrac{1}{3}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
x=2 \\
x=1 \\
x=\dfrac{1}{3} \\
x=-2 \\
\end{matrix} \right.$.
Diện tích: $S=\int\limits_{-2}^{2}{\left| \dfrac{{{x}^{4}}}{4}-\dfrac{{{x}^{3}}}{3}-\dfrac{11}{12}{{x}^{2}}+\dfrac{4}{3}x-\dfrac{1}{3} \right|dx}=\dfrac{3778}{1215}$.
Đáp án D.