Biết hàm số $F\left( x...

The Funny · 27/5/23

Câu hỏi: Biết hàm số

F (x) = \frac{x^{5}}{20} - \frac{x^{4}}{12} - \frac{2}{3} x^{3} + 2 x^{2} + 7 x

là nguyên hàm của hàm số

y = f (x)

. Gọi

y = g (x)

là hàm số bậc hai có đồ thị đi qua ba điểm cực trị của đồ thị hàm số

y = f (x)

. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường

y = f (x)

và

y = g (x)

bằng
A.

\frac{3479}{1073}

.
B.

\frac{1219}{126}

.
C.

\frac{378}{5}

.
D.

\frac{3778}{1215}

.

Ta có

f (x) = F^{'} (x) = \frac{x^{4}}{4} - \frac{x^{3}}{3} - 2 x^{2} + 4 x + 7

.

f^{'} (x) = x^{3} - x^{2} - 4 x + 4

.

f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow x^{3} - x^{2} - 4 x + 4 = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = - 2 \Rightarrow y = - \frac{7}{3}; A (- 2; - \frac{7}{3}) \\ x = 2 \Rightarrow y = \frac{25}{13}; B (2; \frac{25}{13}) \\ x = 1 \Rightarrow y = \frac{107}{12}; C (1; \frac{107}{12}) \end{matrix}

.
Gọi

y = g (x) = a x^{2} + b x + c

là đồ thị đi qua ba điểm cực trị của hàm số

y = f (x)

. Ta có:

{\begin{matrix} g (1) = \frac{107}{12} \\ g (2) = \frac{25}{13} \\ g (- 2) = - \frac{7}{3} \end{matrix} \Leftrightarrow {\begin{matrix} a + b + c = \frac{107}{12} \\ 4 a + 2 b + c = \frac{25}{3} \\ 4 a - 2 b + c = - \frac{7}{3} \end{matrix} \Leftrightarrow {\begin{matrix} a = - \frac{13}{12} \\ b = \frac{8}{3} \\ c = \frac{22}{3} \end{matrix}

.
Vậy

g (x) = - \frac{13}{12} x^{2} + \frac{8}{3} x + \frac{22}{3}

. Phương trình hoành độ giao điểm của

f (x)

và

g (x)

là:

\Leftrightarrow \frac{x^{4}}{4} - \frac{x^{3}}{3} - \frac{11}{12} x^{2} + \frac{4}{3} x - \frac{1}{3} = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = 2 \\ x = 1 \\ x = \frac{1}{3} \\ x = - 2 \end{matrix}

.
Diện tích:

S = \int_{- 2}^{2} | \frac{x^{4}}{4} - \frac{x^{3}}{3} - \frac{11}{12} x^{2} + \frac{4}{3} x - \frac{1}{3} | d x = \frac{3778}{1215}

.

Đáp án D.