Biết hàm số $f\left( x \right)={{x}^{3}}+a{{x}^{2}}+bx+c$ đạt cực...

Phương pháp:
- Hàm số đạt cực trị tại $x={{x}_{0}}\Rightarrow f'\left( {{x}_{0}} \right)=0.~$
- Thay điểm $\left( 1;-3 \right);\left( 0;2 \right)$ vào hàm số.
- Giải hệ phương trình tìm a , b , c.
- Giải phương trình $f\left( x \right)=2.~$
Cách giải:
Ta có: $f'\left( x \right)=3{{x}^{2}}+2ax+b.~$
Hàm số đạt cực trị tại điểm x = 1 nên $3+2a+b=0.~$
$f\left( 1 \right)=-3\Rightarrow 1+a+b+c=-3\Leftrightarrow a+b+c=-4.~$
Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tùng độ bằng 2 nên c = 0 .
Ta có:
$\left\{ \begin{aligned}
& 3+2a+b=0 \\
& a+b+c=-4 \\
& c=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=1 \\
& b=-5 \\
& c=0 \\
\end{aligned} \right.$

$\begin{aligned}
& \Rightarrow f\left( x \right)={{x}^{3}}+{{x}^{2}}-5x \\
& f\left( x \right)=2\Leftrightarrow {{x}^{3}}+{{x}^{2}}-5x=2 \\
& \Leftrightarrow \left( x-2 \right)\left( {{x}^{2}}+3x+1 \right)=0 \\
\end{aligned}$.
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=2 \\
& x=\dfrac{-3+\sqrt{5}}{2} \\
& x=\dfrac{-3-\sqrt{5}}{2} \\
\end{aligned} \right.$
Vậy phương trình f ( x ) = 2 có 3 nghiệm phân biệt.