Biết hàm số $f\left( x \right)={{x}^{3}}+a{{x}^{2}}+bx+c$ đạt cực...

Do đồ thị của hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1 nên $c=1$.
Ta có ${f}'\left( x \right)=3{{x}^{2}}+2ax+b$
Hàm số đạt cực đại tại điểm $x=-3$ nên $-27-6a+b=0$
Do $f\left( -3 \right)=28$ nên $-27+9a-3b+c=28$.
Khi đó ta có hệ phương trình
$\left\{ \begin{aligned}
& c=1 \\
& -27-6a+b=0 \\
& -27+9a-3b+c=28 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& c=1 \\
& 6a-b=-27 \\
& 9a-3b=-54 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=-3 \\
& b=9 \\
& c=1 \\
\end{aligned} \right.$
Vậy $S={{a}^{2}}+{{b}^{2}}-{{c}^{2}}={{\left( -3 \right)}^{2}}+{{9}^{2}}-1=89$.