Biết hàm số $f\left( x \right)=\left\{ \begin{matrix}...

Tập xác định: $D=\mathbb{R}$.
Với $x>1$ ta có $f\left(x\right)=x^2+3$ xác định và liên tục trên khoảng $(1;+\mathrm{\infty })$.
Với $x<1$ ta có $f\left(x\right)=5-x+2021a$ xác định và liên tục trên khoảng $(-\mathrm{\infty };1)$.
Xét tại $x=1$ ta có $\underset{x\to 1^{+}}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{+}}{lim}(x^2+3)=4$.
$\underset{x\to 1^{-}}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{+}}{lim}(5-x+2021a)=4+2021a$.
Và $f\left(1\right)=4$.
Vậy để hàm số $f\left(x\right)$ liên tục trên tập thì $f\left(x\right)$ phải liên tục tại điểm $x=1$
$\iff \underset{x\to 1^{+}}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{-}}{lim}f\left(x\right)=f\left(1\right)\iff 4=4+2021a\iff a=0$.
Khi đó $f\left(x\right)=\{\begin{array}{ccc}{x}^2+3& \text{khi}& x\ge 1\\ 5-x& \text{khi}& x<1\end{array}$.
Xét tích phân $I_1=\underset{0}{\overset{{\displaystyle \frac{\pi }{2}}}{\int }}f(\sin x)\cos x\text{d}x$.Đặt $t=sinx\Rightarrow \text{d}t=\cos x\text{d}x$.
Đổi cận

Ta có $I_1=\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(t\right)\text{d}t=\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x=\underset{0}{\overset{1}{\int }}(5-x)\text{d}x={(5x-{\displaystyle \frac{x^2}{2}})|}_0^1={\displaystyle \frac{9}{2}}$.
Xét tích phân $I_2=\underset{0}{\overset{1}{\int }}f(3-2x)\text{d}x$. Đặt $t=3-2x\Rightarrow \text{d}t=-2\text{d}x\Rightarrow \text{d}x={\displaystyle \frac{-\text{d}t}{2}}$.
Đổi cận

Tacó $I_2=\underset{0}{\overset{1}{\int }}f(3-2x)\text{d}x=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\underset{3}{\overset{1}{\int }}f\left(t\right)\text{d}t={\displaystyle \frac{1}{2}}\underset{1}{\overset{3}{\int }}f\left(t\right)\text{d}t={\displaystyle \frac{1}{2}}\underset{1}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x={\displaystyle \frac{1}{2}}\underset{1}{\overset{3}{\int }}(x^2+3)\text{d}x$
$={\displaystyle \frac{1}{2}}{({\displaystyle \frac{x^3}{3}}+3x)|}_1^3={\displaystyle \frac{1}{2}}(18-{\displaystyle \frac{10}{3}})={\displaystyle \frac{22}{3}}$.
Vậy $I=2\underset{0}{\overset{{\displaystyle \frac{\pi }{2}}}{\int }}f(\sin x)\cos x\text{d}x+3\underset{0}{\overset{1}{\int }}f(3-2x)\text{d}x=9+22=31$.