Google
Câu hỏi: Biết hàm số $f\left( x \right)=\left\{ \begin{matrix}
{{x}^{2}}+3 & \text{khi} & x\ge 1 \\
5-x+2021a & \text{khi} & x<1 \\
\end{matrix} \right. $,($ a $ là tham số) liên tục trên $ \mathbb{R} $. Tính tích phân$ I=2\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{f\left( \sin x \right)\cos x\text{d}x+3\int\limits_{0}^{1}{f\left( 3-2x \right)\text{d}x}}$.
A. $\dfrac{71}{6}$.
B. $31$.
C. $32$.
D. $\dfrac{32}{3}$.
{{x}^{2}}+3 & \text{khi} & x\ge 1 \\
5-x+2021a & \text{khi} & x<1 \\
\end{matrix} \right. $,($ a $ là tham số) liên tục trên $ \mathbb{R} $. Tính tích phân$ I=2\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{f\left( \sin x \right)\cos x\text{d}x+3\int\limits_{0}^{1}{f\left( 3-2x \right)\text{d}x}}$.
A. $\dfrac{71}{6}$.
B. $31$.
C. $32$.
D. $\dfrac{32}{3}$.
Tập xác định: $D=\mathbb{R}$.
Với $x>1$ ta có $f\left( x \right)={{x}^{2}}+3$ xác định và liên tục trên khoảng $\left( 1;+\infty \right)$.
Với $x<1$ ta có $f\left( x \right)=5-x+2021a$ xác định và liên tục trên khoảng $\left( -\infty ;1 \right)$.
Xét tại $x=1$ ta có $\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }} f\left( x \right)=\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }} \left( {{x}^{2}}+3 \right)=4$.
$\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }} f\left( x \right)=\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }} \left( 5-x+2021a \right)=4+2021a$.
Và $f\left( 1 \right)=4$.
Vậy để hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên tập thì $f\left( x \right)$ phải liên tục tại điểm $x=1$
$\Leftrightarrow \underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }} f\left( x \right)=\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }} f\left( x \right)=f\left( 1 \right)\Leftrightarrow 4=4+2021a\Leftrightarrow a=0$.
Khi đó $f\left( x \right)=\left\{ \begin{matrix}
{{x}^{2}}+3 & \text{khi} & x\ge 1 \\
5-x & \text{khi} & x<1 \\
\end{matrix} \right.$.
Xét tích phân ${{I}_{1}}=\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{f\left( \sin x \right)\cos x\text{d}x}$.Đặt $t=sinx\Rightarrow \text{d}t=\cos x\text{d}x$.
Đổi cận
Ta có ${{I}_{1}}=\int\limits_{0}^{1}{f\left( t \right)\text{d}t=}\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)\text{d}x}=\int\limits_{0}^{1}{\left( 5-x \right)\text{d}x=}\left. \left( 5x-\dfrac{{{x}^{2}}}{2} \right) \right|_{0}^{1}=\dfrac{9}{2}$.
Xét tích phân ${{I}_{2}}=\int\limits_{0}^{1}{f\left( 3-2x \right)\text{d}x}$. Đặt $t=3-2x\Rightarrow \text{d}t=-2\text{d}x\Rightarrow \text{d}x=\dfrac{-\text{d}t}{2}$.
Đổi cận
Tacó ${{I}_{2}}=\int\limits_{0}^{1}{f\left( 3-2x \right)\text{d}x}=-\dfrac{1}{2}\int\limits_{3}^{1}{f\left( t \right)\text{d}t=\dfrac{1}{2}\int\limits_{1}^{3}{f\left( t \right)\text{d}t=}}\dfrac{1}{2}\int\limits_{1}^{3}{f\left( x \right)\text{d}x=}\dfrac{1}{2}\int\limits_{1}^{3}{\left( {{x}^{2}}+3 \right)\text{d}x}$
$=\dfrac{1}{2}\left. \left( \dfrac{{{x}^{3}}}{3}+3x \right) \right|_{1}^{3}=\dfrac{1}{2}\left( 18-\dfrac{10}{3} \right)=\dfrac{22}{3}$.
Vậy $I=2\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{f\left( \sin x \right)\cos x\text{d}x+3\int\limits_{0}^{1}{f\left( 3-2x \right)\text{d}x}}=9+22=31$.
Với $x>1$ ta có $f\left( x \right)={{x}^{2}}+3$ xác định và liên tục trên khoảng $\left( 1;+\infty \right)$.
Với $x<1$ ta có $f\left( x \right)=5-x+2021a$ xác định và liên tục trên khoảng $\left( -\infty ;1 \right)$.
Xét tại $x=1$ ta có $\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }} f\left( x \right)=\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }} \left( {{x}^{2}}+3 \right)=4$.
$\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }} f\left( x \right)=\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }} \left( 5-x+2021a \right)=4+2021a$.
Và $f\left( 1 \right)=4$.
Vậy để hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên tập thì $f\left( x \right)$ phải liên tục tại điểm $x=1$
$\Leftrightarrow \underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }} f\left( x \right)=\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }} f\left( x \right)=f\left( 1 \right)\Leftrightarrow 4=4+2021a\Leftrightarrow a=0$.
Khi đó $f\left( x \right)=\left\{ \begin{matrix}
{{x}^{2}}+3 & \text{khi} & x\ge 1 \\
5-x & \text{khi} & x<1 \\
\end{matrix} \right.$.
Xét tích phân ${{I}_{1}}=\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{f\left( \sin x \right)\cos x\text{d}x}$.Đặt $t=sinx\Rightarrow \text{d}t=\cos x\text{d}x$.
Đổi cận
Ta có ${{I}_{1}}=\int\limits_{0}^{1}{f\left( t \right)\text{d}t=}\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)\text{d}x}=\int\limits_{0}^{1}{\left( 5-x \right)\text{d}x=}\left. \left( 5x-\dfrac{{{x}^{2}}}{2} \right) \right|_{0}^{1}=\dfrac{9}{2}$.
Xét tích phân ${{I}_{2}}=\int\limits_{0}^{1}{f\left( 3-2x \right)\text{d}x}$. Đặt $t=3-2x\Rightarrow \text{d}t=-2\text{d}x\Rightarrow \text{d}x=\dfrac{-\text{d}t}{2}$.
Đổi cận
Tacó ${{I}_{2}}=\int\limits_{0}^{1}{f\left( 3-2x \right)\text{d}x}=-\dfrac{1}{2}\int\limits_{3}^{1}{f\left( t \right)\text{d}t=\dfrac{1}{2}\int\limits_{1}^{3}{f\left( t \right)\text{d}t=}}\dfrac{1}{2}\int\limits_{1}^{3}{f\left( x \right)\text{d}x=}\dfrac{1}{2}\int\limits_{1}^{3}{\left( {{x}^{2}}+3 \right)\text{d}x}$
$=\dfrac{1}{2}\left. \left( \dfrac{{{x}^{3}}}{3}+3x \right) \right|_{1}^{3}=\dfrac{1}{2}\left( 18-\dfrac{10}{3} \right)=\dfrac{22}{3}$.
Vậy $I=2\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{f\left( \sin x \right)\cos x\text{d}x+3\int\limits_{0}^{1}{f\left( 3-2x \right)\text{d}x}}=9+22=31$.
Đáp án B.