Biết hàm số $f\left( x \right)-f\left( 2x \right)$ có đạo hàm bằng 20 tại $x=1$ và đạo hàm bằng 1001 tại $x=2.$ Tính đạo hàm của hàm số $f\left( x...

Phương pháp:
- Đặt $g\left( x \right)=f\left( x \right)-f\left( 2x \right),$ tính $g'\left( x \right).$
- Dựa vào giả thiết suy ra $g'\left( 1 \right),g'\left( 2 \right),$ sử dụng phương pháp cộng đại số tìm $f'\left( 1 \right)-4f'\left( 4 \right).$
- Đặt $h\left( x \right)=f\left( x \right)-f\left( 4x \right),$ tính $h'\left( x \right)$ và tính $h'\left( 1 \right).$
Cách giải:
Đặt $g\left( x \right)=f\left( x \right)-f\left( 2x \right),$ ta có $g'\left( x \right)=f'\left( x \right)-2f'\left( 2x \right).$
Theo bài ra ta có
$\left\{ \begin{aligned}
& g'\left( 1 \right)=20 \\
& g'\left( 2 \right)=1001 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& f'\left( 1 \right)-2f'\left( 2 \right)=20 \\
& f'\left( 2 \right)-2f'\left( 4 \right)=1001 \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& f'\left( 1 \right)-2f'\left( 2 \right)=20 \\
& 2f'\left( 2 \right)-4f'\left( 4 \right)=2002 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow f'\left( 1 \right)-4f'\left( 4 \right)=2022$
Đặt $h\left( x \right)=f\left( x \right)-f\left( 4x \right)$ ta có $h'\left( x \right)=f'\left( x \right)-4f'\left( 4x \right).$
$\Rightarrow h'\left( 1 \right)=f'\left( 1 \right)-4f'\left( 4 \right)=2002.$