Google
Câu hỏi: Biết hàm số $f\left( x \right)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+3x+1,$ $\left( a,b\in \mathbb{R},a\ne 0 \right)$ đạt cực trị tại hai điểm ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=4$ và thỏa mãn $f\left( {{x}_{1}} \right)+f\left( {{x}_{2}} \right)=\dfrac{10}{3}$. Gọi $y=g\left( x \right)$ là hàm số bậc nhất có đồ thị đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường thẳng $y=f\left( x \right)$ và $y=g\left( x \right)$ bằng:
A. $\dfrac{1}{2}$.
B. $\dfrac{1}{2}$.
C. $\dfrac{1}{12}$.
D. $\dfrac{1}{6}$.
A. $\dfrac{1}{2}$.
B. $\dfrac{1}{2}$.
C. $\dfrac{1}{12}$.
D. $\dfrac{1}{6}$.
Ta có: ${{f}^{/}}\left( x \right)=3a{{x}^{2}}+2bx+3=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x={{x}_{1}} \\
& x={{x}_{2}} \\
\end{aligned} \right. $, dẫn đến $ \left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\dfrac{2b}{3a} \\
& {{x}_{1}}{{x}_{2}}=\dfrac{1}{a} \\
\end{aligned} \right.$.
Theo đề:
${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=4\Leftrightarrow -\dfrac{2b}{3a}=4\Leftrightarrow b=-6a$
$f\left( {{x}_{1}} \right)+f\left( {{x}_{2}} \right)=\dfrac{10}{3}\Leftrightarrow a\left( {{x}_{1}}^{3}+{{x}_{2}}^{3} \right)+b\left( {{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2} \right)+3\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)+2=\dfrac{10}{3}$
$\Leftrightarrow a\left[ {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{3}}-3{{x}_{1}}{{x}_{2}}\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right) \right]+b\left[ {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}} \right]+3\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)+2=\dfrac{10}{3}$
$\Leftrightarrow a\left[ 64-12{{x}_{1}}{{x}_{2}} \right]+b\left[ 16-2{{x}_{1}}{{x}_{2}} \right]+\dfrac{32}{3}=0$
$\Leftrightarrow a\left[ 64-12.\dfrac{1}{a} \right]+b\left[ 16-2.\dfrac{1}{a} \right]+\dfrac{32}{3}=0$, thay $b=-6a$ ta được:
$\Leftrightarrow 64a-12-6.16.a+12+\dfrac{32}{3}=0$. Từ đó ta tìm được $a=\dfrac{1}{3},b=-2$.
Suy ra $f\left( x \right)=\dfrac{1}{3}{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+3x+1\Rightarrow {{f}^{/}}\left( x \right)={{x}^{2}}-4x+3$
${{f}^{/}}\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{x}_{1}}=1 \\
& {{x}_{2}}=3 \\
\end{aligned} \right.$.
Lấy $f\left( x \right):{{f}^{/}}\left( x \right)\Rightarrow g\left( x \right)=-\dfrac{2}{3}x+3$
Phương trình hoành độ giao điểm của f(x) và g(x):
$\dfrac{1}{3}{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+3x+1=-\dfrac{2}{3}x+3\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1 \\
& x=2 \\
& x=3 \\
\end{aligned} \right.$.
Vậy S = $\int\limits_{1}^{3}{\left| f\left( x \right)-g\left( x \right) \right|}dx=\int\limits_{1}^{3}{\left| \left( \dfrac{1}{3}{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+3x+1 \right)-\left( -\dfrac{2}{3}x+3 \right) \right|}dx=\dfrac{1}{6}$.
& x={{x}_{1}} \\
& x={{x}_{2}} \\
\end{aligned} \right. $, dẫn đến $ \left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\dfrac{2b}{3a} \\
& {{x}_{1}}{{x}_{2}}=\dfrac{1}{a} \\
\end{aligned} \right.$.
Theo đề:
${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=4\Leftrightarrow -\dfrac{2b}{3a}=4\Leftrightarrow b=-6a$
$f\left( {{x}_{1}} \right)+f\left( {{x}_{2}} \right)=\dfrac{10}{3}\Leftrightarrow a\left( {{x}_{1}}^{3}+{{x}_{2}}^{3} \right)+b\left( {{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2} \right)+3\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)+2=\dfrac{10}{3}$
$\Leftrightarrow a\left[ {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{3}}-3{{x}_{1}}{{x}_{2}}\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right) \right]+b\left[ {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}} \right]+3\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)+2=\dfrac{10}{3}$
$\Leftrightarrow a\left[ 64-12{{x}_{1}}{{x}_{2}} \right]+b\left[ 16-2{{x}_{1}}{{x}_{2}} \right]+\dfrac{32}{3}=0$
$\Leftrightarrow a\left[ 64-12.\dfrac{1}{a} \right]+b\left[ 16-2.\dfrac{1}{a} \right]+\dfrac{32}{3}=0$, thay $b=-6a$ ta được:
$\Leftrightarrow 64a-12-6.16.a+12+\dfrac{32}{3}=0$. Từ đó ta tìm được $a=\dfrac{1}{3},b=-2$.
Suy ra $f\left( x \right)=\dfrac{1}{3}{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+3x+1\Rightarrow {{f}^{/}}\left( x \right)={{x}^{2}}-4x+3$
${{f}^{/}}\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{x}_{1}}=1 \\
& {{x}_{2}}=3 \\
\end{aligned} \right.$.
Lấy $f\left( x \right):{{f}^{/}}\left( x \right)\Rightarrow g\left( x \right)=-\dfrac{2}{3}x+3$
Phương trình hoành độ giao điểm của f(x) và g(x):
$\dfrac{1}{3}{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+3x+1=-\dfrac{2}{3}x+3\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1 \\
& x=2 \\
& x=3 \\
\end{aligned} \right.$.
Vậy S = $\int\limits_{1}^{3}{\left| f\left( x \right)-g\left( x \right) \right|}dx=\int\limits_{1}^{3}{\left| \left( \dfrac{1}{3}{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+3x+1 \right)-\left( -\dfrac{2}{3}x+3 \right) \right|}dx=\dfrac{1}{6}$.
Đáp án D.