. Biết giá trị lớn nhất của hàm số $y=f\left( x \right)=\left|...

Có $\underset{\left[ 0;3 \right]}{\mathop{\max }} f\left( x \right)=60\Leftrightarrow f\left( x \right)\le 60,\forall x\in \left[ 0;3 \right]$ và $\exists {{x}_{0}}\in \left[ 0;3 \right]$ sao cho $f\left( {{x}_{0}} \right)=60$.
Có $f\left( x \right)\le 60\Leftrightarrow \left| 2{{x}^{3}}-15x+m-5 \right|+9x\le 60\Leftrightarrow \left| 2{{x}^{3}}-15x+m-5 \right|\le 60-9x$
$\Leftrightarrow 9x-60\le 2{{x}^{3}}-15x+m-5\le 60-9x\Leftrightarrow -2{{x}^{3}}+24x-55\le m\le -2{{x}^{3}}+6x+65$
Có $-2{{x}^{3}}+6x+65\ge 29,\forall x\in \left[ 0;3 \right]$ nên $m\le -2{{x}^{3}}+6x+65,\forall x\in \left[ 0;3 \right]\Leftrightarrow m\le 29$.
Tương tự $-2{{x}^{3}}+24x-55\le -23$ nên $-2{{x}^{3}}+24x-55\le m,\forall x\in \left[ 0;3 \right]\Leftrightarrow m\ge -23$.
Vậy $-23\le m\le 29$ thì $f\left( x \right)\le 60,\forall x\in \left[ 0;3 \right]$.
Đề $\exists {{x}_{0}}\in \left[ 0;3 \right]$ sao cho $f\left( {{x}_{0}} \right)=60$ thì $\left[ \begin{aligned}
& -2{{x}^{3}}+24x-55=m \\
& -2{{x}^{3}}+6x+65=m \\
\end{aligned} \right. $ có nghiệm trên $ \left[ 0;3 \right]$.
Hay $\left[ \begin{aligned}
& m\ge 29 \\
& m\le -23 \\
\end{aligned} \right. $. Vậy $ \left[ \begin{aligned}
& m=29 \\
& m=-23 \\
\end{aligned} \right. $ thì $ \underset{\left[ 0;3 \right]}{\mathop{\max }} f\left( x \right)=60$.
Khi đó tổng các giá trị của m là 29 – 23 = 6.