Google
Câu hỏi: Biết $F\left( x \right)$ và $G\left( x \right)$ là hai nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)$ trên $\mathbb{R}$ và thoả mãn $\int\limits_{0}^{4}{f\left( x \right)\text{d}x}=F\left( 4 \right)-G\left( 0 \right)+2m$, với $m>0$. Gọi $S$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=F\left( x \right)$, $y=G\left( x \right)$ ; $x=0$ và $x=4$. Khi $S=8$ thì $m$ bằng
A. $1$.
B. $2$.
C. $3$.
D. $4$.
A. $1$.
B. $2$.
C. $3$.
D. $4$.
Theo đề ta có $\int\limits_{0}^{4}{f\left( x \right)\text{d}x}=F\left( 4 \right)-G\left( 0 \right)+2m\Rightarrow F\left( x \right)\left| \underset{0}{\overset{4}{\mathop {}}} \right.=F\left( 4 \right)-G\left( 0 \right)+2m$
$\Rightarrow F\left( 4 \right)-F\left( 0 \right)=F\left( 4 \right)-G\left( 0 \right)+2m\Rightarrow G\left( 0 \right)-F\left( 0 \right)=2m$. $\left( 1 \right)$
Mặt khác, do $F\left( x \right)$ và $G\left( x \right)$ là hai nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)$ trên $\mathbb{R}$ nên ta có $G\left( x \right)-F\left( x \right)=C$ (không đổi) với mọi $x\in \mathbb{R}$. $\left( 2 \right)$
Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ suy ra $G\left( x \right)-F\left( x \right)=2m>0$, với mọi $x\in \mathbb{R}$.
Khi đó ta có $S=\int\limits_{0}^{4}{\left| G\left( x \right)-F\left( x \right) \right|\text{d}x=\int\limits_{0}^{4}{\text{2}m.\text{d}x}}=2mx\left| \underset{0}{\overset{4}{\mathop{{}}}} \right.=8m$.
Theo đề ta có $8m=8\Leftrightarrow m=1$.
$\Rightarrow F\left( 4 \right)-F\left( 0 \right)=F\left( 4 \right)-G\left( 0 \right)+2m\Rightarrow G\left( 0 \right)-F\left( 0 \right)=2m$. $\left( 1 \right)$
Mặt khác, do $F\left( x \right)$ và $G\left( x \right)$ là hai nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)$ trên $\mathbb{R}$ nên ta có $G\left( x \right)-F\left( x \right)=C$ (không đổi) với mọi $x\in \mathbb{R}$. $\left( 2 \right)$
Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ suy ra $G\left( x \right)-F\left( x \right)=2m>0$, với mọi $x\in \mathbb{R}$.
Khi đó ta có $S=\int\limits_{0}^{4}{\left| G\left( x \right)-F\left( x \right) \right|\text{d}x=\int\limits_{0}^{4}{\text{2}m.\text{d}x}}=2mx\left| \underset{0}{\overset{4}{\mathop{{}}}} \right.=8m$.
Theo đề ta có $8m=8\Leftrightarrow m=1$.
Đáp án A.