Google
Câu hỏi: Biết $F\left( x \right)$ và $G\left( x \right)$ là hai nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)$ trên $\mathbb{R}$ và $\int\limits_{0}^{4}{f\left( x \right)\text{d}x= }F\left( 4 \right)-G\left( 0 \right)+a \left( a>0 \right)$. Gọi $S$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=F\left( x \right)$, $y=G\left( x \right)$, $x=0$ và $x=4$, Khi $S=8$ thì $a$ bằng
A. $8$.
B. $4$.
C. $12$.
D. $2$.
A. $8$.
B. $4$.
C. $12$.
D. $2$.
$F\left( x \right)$ và $G\left( x \right)$ là hai nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)$ trên $\mathbb{R}$ nên ta có
$\forall x\in \mathbb{R}: F\left( x \right)=G\left( x \right)+C$ (với $C$ là hằng số).
Do đó $F\left( 0 \right)=G\left( 0 \right)+C$ (1).
Lại có $\int\limits_{0}^{4}{f\left( x \right)\text{d}x= }F\left( 4 \right)-F\left( 0 \right)$
$\Leftrightarrow F\left( 4 \right)-G\left( 0 \right)+a =F\left( 4 \right)-F\left( 0 \right)$ $\Leftrightarrow F\left( 0 \right)=G\left( 0 \right)-a$ (2).
Từ (1) và (2) suy ra $C=-a$.
Khi đó $F\left( x \right)=G\left( x \right)-a$, $\forall x\in \mathbb{R}$ $\Leftrightarrow \left| F\left( x \right)-G\left( x \right) \right|=a$, $\forall x\in \mathbb{R}$.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=F\left( x \right)$, $y=G\left( x \right)$, $x=0$ và $x=4$ là
$S=\int\limits_{0}^{4}{\left| F\left( x \right)-G\left( x \right) \right|\text{.d}x}$ $=\int\limits_{0}^{4}{a.\text{d}x}=4a=8$ $\Leftrightarrow a=2$.
$\forall x\in \mathbb{R}: F\left( x \right)=G\left( x \right)+C$ (với $C$ là hằng số).
Do đó $F\left( 0 \right)=G\left( 0 \right)+C$ (1).
Lại có $\int\limits_{0}^{4}{f\left( x \right)\text{d}x= }F\left( 4 \right)-F\left( 0 \right)$
$\Leftrightarrow F\left( 4 \right)-G\left( 0 \right)+a =F\left( 4 \right)-F\left( 0 \right)$ $\Leftrightarrow F\left( 0 \right)=G\left( 0 \right)-a$ (2).
Từ (1) và (2) suy ra $C=-a$.
Khi đó $F\left( x \right)=G\left( x \right)-a$, $\forall x\in \mathbb{R}$ $\Leftrightarrow \left| F\left( x \right)-G\left( x \right) \right|=a$, $\forall x\in \mathbb{R}$.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=F\left( x \right)$, $y=G\left( x \right)$, $x=0$ và $x=4$ là
$S=\int\limits_{0}^{4}{\left| F\left( x \right)-G\left( x \right) \right|\text{.d}x}$ $=\int\limits_{0}^{4}{a.\text{d}x}=4a=8$ $\Leftrightarrow a=2$.
Đáp án D.