Google
Câu hỏi: Biết $F\left( x \right)$ và $G\left( x \right)$ là hai nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)$ trên $\mathbb{R}$ và $\int\limits_{0}^{4}{f\left( x \right)\text{d}x=F\left( 4 \right)-G\left( 0 \right)+a} \left( a>0 \right)$. Gọi $S$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=F\left( x \right), y=G\left( x \right), x=0$ và $x=4$. Khi $S=8$ thì $a$ bằng
A. $8$.
B. $4$.
C. $12$.
D. $2$.
A. $8$.
B. $4$.
C. $12$.
D. $2$.
$F\left( x \right)$ là nguyên hàm của $f\left( x \right)$ trên $\mathbb{R}$ nên $\int\limits_{0}^{4}{f\left( x \right)\text{d}x=F\left( 4 \right)-F\left( 0 \right)}$.
Mà $\int\limits_{0}^{4}{f\left( x \right)\text{d}x=F\left( 4 \right)-G\left( 0 \right)+a} \left( a>0 \right)$ nên
$F\left( 4 \right)-F\left( 0 \right)=F\left( 4 \right)-G\left( 0 \right)+a\Leftrightarrow G\left( 0 \right)=F\left( 0 \right)+a$.
Lại có $G\left( x \right)$ cũng là nguyên hàm của $f\left( x \right)$ trên $\mathbb{R}$ nên $G\left( x \right)=F\left( x \right)+a \forall x\in \mathbb{R}$.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng $y=F\left( x \right), y=G\left( x \right), x=0$ và $x=4$ là
$S=\int\limits_{0}^{4}{\left| F\left( x \right)-G\left( x \right) \right|} \text{d}x=\int\limits_{0}^{4}{a \text{d}x}=4a=8\Rightarrow a=2$.
Mà $\int\limits_{0}^{4}{f\left( x \right)\text{d}x=F\left( 4 \right)-G\left( 0 \right)+a} \left( a>0 \right)$ nên
$F\left( 4 \right)-F\left( 0 \right)=F\left( 4 \right)-G\left( 0 \right)+a\Leftrightarrow G\left( 0 \right)=F\left( 0 \right)+a$.
Lại có $G\left( x \right)$ cũng là nguyên hàm của $f\left( x \right)$ trên $\mathbb{R}$ nên $G\left( x \right)=F\left( x \right)+a \forall x\in \mathbb{R}$.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng $y=F\left( x \right), y=G\left( x \right), x=0$ và $x=4$ là
$S=\int\limits_{0}^{4}{\left| F\left( x \right)-G\left( x \right) \right|} \text{d}x=\int\limits_{0}^{4}{a \text{d}x}=4a=8\Rightarrow a=2$.
Đáp án D.