Google
Câu hỏi: Biết $F\left( x \right)$ và $G\left( x \right)$ là hai nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)$ trên $\mathbb{R}$ và $\int\limits_{0}^{5}{f\left( x \right)\text{d}x}=F\left( 5 \right)-G\left( 0 \right)+a$ $\left( a>0 \right)$. Gọi $S$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=F\left( x \right),y=G\left( x \right),x=0$ và $x=5$. Khi $S=20$ thì $a$ bằng
A. $4$.
B. $15$.
C. $25$.
D. $20$.
A. $4$.
B. $15$.
C. $25$.
D. $20$.
Vì $F\left( x \right)$ và $G\left( x \right)$ là hai nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)$ trên $\mathbb{R}$ nên
$\int\limits_{0}^{5}{f\left( x \right)\text{d}x}=F\left( 5 \right)-F\left( 0 \right)=G\left( 5 \right)-G\left( 0 \right)=F\left( 5 \right)-G\left( 0 \right)+a$ $\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& F\left( 0 \right)=G\left( 0 \right)-a \\
& F\left( 5 \right)=G\left( 5 \right)-a \\
\end{aligned} \right.$.
Do đó $F\left( x \right)=G\left( x \right)-a\Leftrightarrow F\left( x \right)-G\left( x \right)=-a$
$S$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=F\left( x \right),y=G\left( x \right),x=0$ và $x=5$ nên
$S=\int\limits_{0}^{5}{\left| F\left( x \right)-G\left( x \right) \right|\text{d}x}=\int\limits_{0}^{5}{\left| -a \right|\text{d}x=\int\limits_{0}^{5}{\left| a \right|\text{d}x}}=\int\limits_{0}^{5}{a\text{d}x}=\left. ax \right|_{0}^{5}=5a$ $\left( a>0 \right)$.
Mà $S=20$ nên $5a=20\Leftrightarrow a=4.$.
$\int\limits_{0}^{5}{f\left( x \right)\text{d}x}=F\left( 5 \right)-F\left( 0 \right)=G\left( 5 \right)-G\left( 0 \right)=F\left( 5 \right)-G\left( 0 \right)+a$ $\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& F\left( 0 \right)=G\left( 0 \right)-a \\
& F\left( 5 \right)=G\left( 5 \right)-a \\
\end{aligned} \right.$.
Do đó $F\left( x \right)=G\left( x \right)-a\Leftrightarrow F\left( x \right)-G\left( x \right)=-a$
$S$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=F\left( x \right),y=G\left( x \right),x=0$ và $x=5$ nên
$S=\int\limits_{0}^{5}{\left| F\left( x \right)-G\left( x \right) \right|\text{d}x}=\int\limits_{0}^{5}{\left| -a \right|\text{d}x=\int\limits_{0}^{5}{\left| a \right|\text{d}x}}=\int\limits_{0}^{5}{a\text{d}x}=\left. ax \right|_{0}^{5}=5a$ $\left( a>0 \right)$.
Mà $S=20$ nên $5a=20\Leftrightarrow a=4.$.
Đáp án A.