Google
Câu hỏi: Biết $F\left( x \right)=\left( ax+b+\dfrac{c}{x} \right){{e}^{x - \dfrac{2}{x}}}$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)=\left( 1+x+\dfrac{2}{x} \right) {{e}^{x - \dfrac{2}{x}}}$. Giá trị của biểu thức $P={{a}^{2}}-2bc$ bằng:
A. $-3.$
B. $4.$
C. $1.$
D. $5.$
A. $-3.$
B. $4.$
C. $1.$
D. $5.$
Vì $F\left( x \right)=\left( ax+b+\dfrac{c}{x} \right){{e}^{x - \dfrac{2}{x}}}$ là nguyên hàm của $f\left( x \right)=\left( 1+x+\dfrac{2}{x} \right) {{e}^{x - \dfrac{2}{x}}}$ nên ta có
${F}'\left( x \right)=f\left( x \right)$
Mà ${F}'\left( x \right)=\left( a-\dfrac{c}{{{x}^{2}}} \right){{e}^{x-\dfrac{2}{x}}}+\left( a x+b+\dfrac{c}{x} \right)\left( 1+\dfrac{2}{{{x}^{2}}} \right).{{e}^{x-\dfrac{2}{x}}}=\left[ \dfrac{2c}{{{x}^{3}}}+\left( 2b-c \right)\dfrac{1}{{{x}^{2}}}+\left( 2a+c \right)\dfrac{1}{x}+a x+a+b \right]{{e}^{x-\dfrac{2}{x}}}$
${F}'\left( x \right)=f\left( x \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& c=0 \\
& 2b-c=0 \\
& 2a+c=2 \\
& a=1 \\
& a+b=1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=1 \\
& b=0 \\
& c=0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {{a}^{2}}-2bc=1$.
${F}'\left( x \right)=f\left( x \right)$
Mà ${F}'\left( x \right)=\left( a-\dfrac{c}{{{x}^{2}}} \right){{e}^{x-\dfrac{2}{x}}}+\left( a x+b+\dfrac{c}{x} \right)\left( 1+\dfrac{2}{{{x}^{2}}} \right).{{e}^{x-\dfrac{2}{x}}}=\left[ \dfrac{2c}{{{x}^{3}}}+\left( 2b-c \right)\dfrac{1}{{{x}^{2}}}+\left( 2a+c \right)\dfrac{1}{x}+a x+a+b \right]{{e}^{x-\dfrac{2}{x}}}$
${F}'\left( x \right)=f\left( x \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& c=0 \\
& 2b-c=0 \\
& 2a+c=2 \\
& a=1 \\
& a+b=1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=1 \\
& b=0 \\
& c=0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {{a}^{2}}-2bc=1$.
Đáp án C.