Biết $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x...

$F\left( x \right)=\int{f\left( x \right)\text{d}x}=\int{\dfrac{1-\text{co}{{\text{s}}^{3}}x}{\text{co}{{\text{s}}^{2}}x}}\text{d}x=\int{\left( \dfrac{1}{\text{co}{{\text{s}}^{2}}x}-\cos x \right)}\text{d}x=\tan x-\sin x+C$.
$F\left( \dfrac{\pi }{4} \right)=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\Leftrightarrow \tan \dfrac{\pi }{4}-\sin \dfrac{\pi }{4}+C=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\Leftrightarrow C=-1$.
Suy ra $F\left( x \right)=\tan x-\sin x-1$.
$F\left( x \right)=-1\Leftrightarrow \tan x-\sin x=0\Leftrightarrow \sin x\left( \dfrac{1}{\cos x}-1 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \sin x=0 \\
& \cos x=1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \sin x=0\Leftrightarrow x=k\pi $.
$x\in \left( 0; 2020\pi \right)\Rightarrow 0<x<2020\pi \Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 0<k\pi <2020\pi \\
& k\in \mathbb{Z} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 0<k<2020 \\
& k\in \mathbb{Z} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow k\in \left\{ 1;2;3;...;2019 \right\}$.
Vậy có 2019 số thực $x$ thỏa mãn yêu cầu của bài.