Google
Câu hỏi: Biết $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)=x{{e}^{\dfrac{x}{2}}}$ và $F\left( 0 \right)=-1$. Giá trị của $F\left( 4 \right)$ bằng
A. $3$.
B. $\dfrac{7}{4}{{e}^{2}}-\dfrac{3}{4}$.
C. $4{{e}^{2}}+3$.
D. $4{{e}^{2}}-3$.
Ta có $\int{f\left( x \right)dx}=\int{x{{e}^{\dfrac{x}{2}}}dx}$.
Đặt $\left\{ \begin{aligned}
& u=x \\
& dv={{e}^{\dfrac{x}{2}}}dx \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& du=dx \\
& v=2{{e}^{\dfrac{x}{2}}} \\
\end{aligned} \right. $. Suy ra $ \int{f\left( x \right)dx}=2x{{e}^{\dfrac{x}{2}}}-\int{2{{e}^{\dfrac{x}{2}}}dx}=2x{{e}^{\dfrac{x}{2}}}-4{{e}^{\dfrac{x}{2}}}+C$.
Theo giả thiết $F\left( 0 \right)=-1\Rightarrow C=3\Rightarrow F\left( x \right)=2x{{e}^{\dfrac{x}{2}}}-4{{e}^{\dfrac{x}{2}}}+3$.
Suy ra $F\left( 4 \right)=4{{e}^{2}}+3$.
A. $3$.
B. $\dfrac{7}{4}{{e}^{2}}-\dfrac{3}{4}$.
C. $4{{e}^{2}}+3$.
D. $4{{e}^{2}}-3$.
Ta có $\int{f\left( x \right)dx}=\int{x{{e}^{\dfrac{x}{2}}}dx}$.
Đặt $\left\{ \begin{aligned}
& u=x \\
& dv={{e}^{\dfrac{x}{2}}}dx \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& du=dx \\
& v=2{{e}^{\dfrac{x}{2}}} \\
\end{aligned} \right. $. Suy ra $ \int{f\left( x \right)dx}=2x{{e}^{\dfrac{x}{2}}}-\int{2{{e}^{\dfrac{x}{2}}}dx}=2x{{e}^{\dfrac{x}{2}}}-4{{e}^{\dfrac{x}{2}}}+C$.
Theo giả thiết $F\left( 0 \right)=-1\Rightarrow C=3\Rightarrow F\left( x \right)=2x{{e}^{\dfrac{x}{2}}}-4{{e}^{\dfrac{x}{2}}}+3$.
Suy ra $F\left( 4 \right)=4{{e}^{2}}+3$.
Đáp án D.