Google
Câu hỏi: Biết ${F\left( x \right)}$ là một nguyên hàm của ${f\left( x \right)=4x\left( 1+\ln x \right)}$ và ${F\left( 1 \right)=5}$. Tính ${F\left( e \right)}$.
A. $F\left( e \right)=3{{e}^{2}}+4$.
B. $F\left( e \right)=5{{e}^{2}}+4$.
C. $F\left( e \right)=5{{e}^{2}}$.
D. $F\left( e \right)=3{{e}^{2}}+6$.
Ta có $F\left( x \right)=\int{f\left( x \right)\text{d}x}=\int{4x\left( 1+\ln x \right)}\text{d}x=\int{4x}\text{d}x+2\int{2x\ln x}\text{d}x=2{{x}^{2}}+2I$
Tính $I=\int{2x\ln x\text{d}x}$.
Đặt $\left\{ \begin{aligned}
& \ln x=u \\
& 2x\text{d}x=\text{d}v \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{\text{d}x}{x}=\text{d}u \\
& {{x}^{2}}=v \\
\end{aligned} \right.$.
Ta có $I={{x}^{2}}\ln x-\int{x}\text{d}x={{x}^{2}}\ln x-\dfrac{{{x}^{2}}}{2}+C$.
Suy ra $F\left( x \right)=2{{x}^{2}}+2{{x}^{2}}\ln x-{{x}^{2}}+C$.
Theo giả thiết $F\left( 1 \right)=5\Rightarrow 2+2\ln 1-1+C=5\Rightarrow C=4$.
Suy ra $F\left( x \right)=2{{x}^{2}}+2{{x}^{2}}\ln x-{{x}^{2}}+4$.
Vậy $F\left( e \right)=2{{e}^{2}}+2{{e}^{2}}\ln e-{{e}^{2}}+4=3{{e}^{2}}+4$.
A. $F\left( e \right)=3{{e}^{2}}+4$.
B. $F\left( e \right)=5{{e}^{2}}+4$.
C. $F\left( e \right)=5{{e}^{2}}$.
D. $F\left( e \right)=3{{e}^{2}}+6$.
Ta có $F\left( x \right)=\int{f\left( x \right)\text{d}x}=\int{4x\left( 1+\ln x \right)}\text{d}x=\int{4x}\text{d}x+2\int{2x\ln x}\text{d}x=2{{x}^{2}}+2I$
Tính $I=\int{2x\ln x\text{d}x}$.
Đặt $\left\{ \begin{aligned}
& \ln x=u \\
& 2x\text{d}x=\text{d}v \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{\text{d}x}{x}=\text{d}u \\
& {{x}^{2}}=v \\
\end{aligned} \right.$.
Ta có $I={{x}^{2}}\ln x-\int{x}\text{d}x={{x}^{2}}\ln x-\dfrac{{{x}^{2}}}{2}+C$.
Suy ra $F\left( x \right)=2{{x}^{2}}+2{{x}^{2}}\ln x-{{x}^{2}}+C$.
Theo giả thiết $F\left( 1 \right)=5\Rightarrow 2+2\ln 1-1+C=5\Rightarrow C=4$.
Suy ra $F\left( x \right)=2{{x}^{2}}+2{{x}^{2}}\ln x-{{x}^{2}}+4$.
Vậy $F\left( e \right)=2{{e}^{2}}+2{{e}^{2}}\ln e-{{e}^{2}}+4=3{{e}^{2}}+4$.
Đáp án A.