: Biết đồ thị hàm số $y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d$ cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt với hoành độ dương ${{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}}$ đồng...

Cách giải:
Vì đồ thị hàm số $y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d$ cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt với hoành độ dương ${{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}}$ nên phương trình $a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d=0$ có 3 nghiệm dương phân biệt ${{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}}.$
Áp dụng định lí Vi-ét ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}}=\dfrac{-b}{a} \\
& {{x}_{1}}{{x}_{2}}+{{x}_{2}}{{x}_{3}}+{{x}_{3}}{{x}_{1}}=\dfrac{c}{a} \\
& {{x}_{1}}{{x}_{2}}{{x}_{3}}=\dfrac{d}{a} \\
\end{aligned} \right.$.
Ta có: $y'=3a{{x}^{2}}+2bx+c,y''=6ax+2b.$
Vì $y''\left( 1 \right)=0\Rightarrow 6a+2b=0\Leftrightarrow b=-3a\Rightarrow {{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}}=\dfrac{-b}{a}=-3.$
Ta có:
$P={{x}_{3}}+\sqrt{{{x}_{2}}{{x}_{3}}}+\sqrt[3]{{{x}_{1}}{{x}_{2}}{{x}_{3}}}$
$P={{x}_{3}}+\dfrac{1}{2}\sqrt{4{{x}_{2}}{{x}_{3}}}+\dfrac{1}{4}\sqrt[3]{16{{x}_{1}}.4{{x}_{2}}.{{x}_{3}}}$
$\Rightarrow P\le {{x}_{3}}+\dfrac{1}{2}.\dfrac{4{{x}_{2}}+{{x}_{3}}}{2}+\dfrac{1}{4}.\dfrac{16{{x}_{1}}+4{{x}_{2}}+{{x}_{3}}}{3}$
$\Rightarrow P\le {{x}_{3}}+\dfrac{4{{x}_{2}}+{{x}_{3}}}{4}+\dfrac{16{{x}_{1}}+4{{x}_{2}}+{{x}_{3}}}{12}$
$\Rightarrow P\le \dfrac{12{{x}_{3}}+12{{x}_{2}}+3{{x}_{3}}+16{{x}_{1}}+4{{x}_{2}}+{{x}_{3}}}{12}$
$\Rightarrow P\le \dfrac{16{{x}_{1}}+16{{x}_{2}}+16{{x}_{3}}}{12}=\dfrac{4}{3}\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}} \right)$
$\Rightarrow P\le \dfrac{4}{3}.3=4$
Vậy ${{P}_{\min }}=4.$