Biết đồ thị hàm số $\left( C \right):y={{x}^{3}}+a{{x}^{2}}+bx+c$...

Ta có: $A\left( 1;6 \right)\in \left( C \right)\Rightarrow a+b+c=5$ (1)
Ta có: ${y}'=3{{\text{x}}^{2}}+2ax+b$, hàm số có cực đại bằng 4 tại $x=-1\Rightarrow B\left( -1;4 \right)$ là điểm cực đại.
$\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& y\left( -1 \right)=4 \\
& {y}'\left( -1 \right)=0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a-b+c=5\left( 2 \right) \\
& 2\text{a}-b=3\text{ }\left( 3 \right) \\
\end{aligned} \right.$.
Từ (1), (2) và (3) $\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=\dfrac{3}{2} \\
& b=0 \\
& c=\dfrac{7}{2} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left( C \right):y={{x}^{3}}+\dfrac{3}{2}{{x}^{2}}+\dfrac{7}{2}$.
Vậy giá trị của hàm số tại $x=3$ là $y\left( 3 \right)=44$.