Google
Câu hỏi: Biết diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y={{3}^{-x}},y=\dfrac{x}{3},x=0$ là $S=\dfrac{m}{3\ln 3}-\dfrac{n}{6}.$ Tính tổng $m+n.$
A. $m+n=4$
B. $m+n=2$
C. $m+n=1$
D. $m+n=3$
A. $m+n=4$
B. $m+n=2$
C. $m+n=1$
D. $m+n=3$
Phương pháp:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f\left( x \right),y=g\left( x \right),$ đường thẳng $x=a,x=b$ là $S=\int\limits_{a}^{b}{\left| f\left( x \right)-g\left( x \right) \right|dx}.$
Cách giải:
Xét phương trình hoành độ giao điểm ${{3}^{-x}}=\dfrac{x}{3}.$
Vì ${{3}^{-x}}$ nghịch biến trên $\mathbb{R},\dfrac{x}{3}$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ nên phương trình trên có nghiệm duy nhất $x=1.$
Diện tích cần tính là: $S=\left| \int\limits_{0}^{1}{\left( {{3}^{-x}}-\dfrac{x}{3} \right)dx} \right|=\left| \left( -\dfrac{{{3}^{-x}}}{\ln 3}-\dfrac{{{x}^{2}}}{6} \right)\left| \begin{aligned}
& 1 \\
& 0 \\
\end{aligned} \right. \right|=\dfrac{2}{3\ln 3}-\dfrac{1}{6}.$
$\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m=2 \\
& n=1 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow m+n=3.$
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f\left( x \right),y=g\left( x \right),$ đường thẳng $x=a,x=b$ là $S=\int\limits_{a}^{b}{\left| f\left( x \right)-g\left( x \right) \right|dx}.$
Cách giải:
Xét phương trình hoành độ giao điểm ${{3}^{-x}}=\dfrac{x}{3}.$
Vì ${{3}^{-x}}$ nghịch biến trên $\mathbb{R},\dfrac{x}{3}$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ nên phương trình trên có nghiệm duy nhất $x=1.$
Diện tích cần tính là: $S=\left| \int\limits_{0}^{1}{\left( {{3}^{-x}}-\dfrac{x}{3} \right)dx} \right|=\left| \left( -\dfrac{{{3}^{-x}}}{\ln 3}-\dfrac{{{x}^{2}}}{6} \right)\left| \begin{aligned}
& 1 \\
& 0 \\
\end{aligned} \right. \right|=\dfrac{2}{3\ln 3}-\dfrac{1}{6}.$
$\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m=2 \\
& n=1 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow m+n=3.$
Đáp án D.