. Biết bất phương trình ${{\log }_{5}}\left( {{5}^{x}}-1...

The Knowledge · 19/12/21

Câu hỏi: . Biết bất phương trình

\log_{5} (5^{x} - 1) . \log_{25} (5^{x + 1} - 5) \leq 1

có tập nghiệm là đoạn

[a; b]

. Giá trị của

a + b

bằng
A.

2 + \log_{5} 156

B.

- 1 + \log_{5} 156

C.

- 2 + \log_{5} 156

D.

- 2 + \log_{5} 26

Phương pháp
Giải bất phương trình bằng cách đưa về bất phương trình bậc hai, ẩn là

\log_{5} (5^{x} - 1) .

Cách giải
Điều kiện:

5^{x} - 1 > 0 \Leftrightarrow x > 0

Ta có:

\log_{5} (5^{x} - 1) . \log_{25} (5^{x + 1} - 5) \leq 1 \Leftrightarrow \log_{5} (5^{x} - 1) . \frac{1}{2} \log_{5} [5 (5^{x} - 1)] \leq 1

\Leftrightarrow \log_{5} (5^{x} - 1) . [1 + \log_{5} (5^{x} - 1)] - 2 \leq 0

\Leftrightarrow \log_{5}^{2} [5^{x} - 1] + \log_{5} (5^{x} - 1) - 2 \leq 0

\Leftrightarrow [\log_{5} (5^{x} - 1) - 1] [\log_{5} (5^{x} - 1) + 2] \leq 0

\Leftrightarrow - 2 \leq \log_{5} (5^{x} - 1) \leq 1 \Leftrightarrow 5^{- 2} \leq 5^{x} - 1 \leq 5^{1} \Leftrightarrow \frac{1}{25} \leq 5^{x} - 1 \leq 5

\Leftrightarrow \frac{26}{25} \leq 5^{x} \leq 6 \Leftrightarrow \log_{5} \frac{26}{25} \leq x \leq \log_{5} 6

Do đó tập nghiệm của bất phương trình là

[\log_{5} \frac{26}{25}; \log_{5} 6] \Rightarrow a = \log_{5} \frac{26}{25}; b = \log_{5} 6.

\Rightarrow a + b = \log_{5} \frac{26}{25} + \log_{5} 6 = \log_{5} \frac{156}{25} = \log_{5} 156 - \log_{5} 25 = \log_{5} 156 - 2

Đáp án C.