Google
Câu hỏi: . Biết bất phương trình ${{\log }_{5}}\left( {{5}^{x}}-1 \right).{{\log }_{25}}\left( {{5}^{x+1}}-5 \right)\le 1$ có tập nghiệm là đoạn $\left[ a;b \right]$. Giá trị của $a+b$ bằng
A. $2+{{\log }_{5}}156$
B. $-1+{{\log }_{5}}156$
C. $-2+{{\log }_{5}}156$
D. $-2+{{\log }_{5}}26$
A. $2+{{\log }_{5}}156$
B. $-1+{{\log }_{5}}156$
C. $-2+{{\log }_{5}}156$
D. $-2+{{\log }_{5}}26$
Phương pháp
Giải bất phương trình bằng cách đưa về bất phương trình bậc hai, ẩn là ${{\log }_{5}}\left( {{5}^{x}}-1 \right).$
Cách giải
Điều kiện: ${{5}^{x}}-1>0\Leftrightarrow x>0$
Ta có:
${{\log }_{5}}\left( {{5}^{x}}-1 \right).{{\log }_{25}}\left( {{5}^{x+1}}-5 \right)\le 1\Leftrightarrow {{\log }_{5}}\left( {{5}^{x}}-1 \right).\dfrac{1}{2}{{\log }_{5}}\left[ 5\left( {{5}^{x}}-1 \right) \right]\le 1$
$\Leftrightarrow {{\log }_{5}}\left( {{5}^{x}}-1 \right).\left[ 1+{{\log }_{5}}\left( {{5}^{x}}-1 \right) \right]-2\le 0$
$\Leftrightarrow \log _{5}^{2}\left[ {{5}^{x}}-1 \right]+{{\log }_{5}}\left( {{5}^{x}}-1 \right)-2\le 0$
$\Leftrightarrow \left[ {{\log }_{5}}\left( {{5}^{x}}-1 \right)-1 \right]\left[ {{\log }_{5}}\left( {{5}^{x}}-1 \right)+2 \right]\le 0$
$\Leftrightarrow -2\le {{\log }_{5}}\left( {{5}^{x}}-1 \right)\le 1\Leftrightarrow {{5}^{-2}}\le {{5}^{x}}-1\le {{5}^{1}}\Leftrightarrow \dfrac{1}{25}\le {{5}^{x}}-1\le 5$
$\Leftrightarrow \dfrac{26}{25}\le {{5}^{x}}\le 6\Leftrightarrow {{\log }_{5}}\dfrac{26}{25}\le x\le {{\log }_{5}}6$
Do đó tập nghiệm của bất phương trình là $\left[ {{\log }_{5}}\dfrac{26}{25};{{\log }_{5}}6 \right]\Rightarrow a={{\log }_{5}}\dfrac{26}{25};b={{\log }_{5}}6.$
$\Rightarrow a+b={{\log }_{5}}\dfrac{26}{25}+{{\log }_{5}}6={{\log }_{5}}\dfrac{156}{25}={{\log }_{5}}156-{{\log }_{5}}25={{\log }_{5}}156-2$
Giải bất phương trình bằng cách đưa về bất phương trình bậc hai, ẩn là ${{\log }_{5}}\left( {{5}^{x}}-1 \right).$
Cách giải
Điều kiện: ${{5}^{x}}-1>0\Leftrightarrow x>0$
Ta có:
${{\log }_{5}}\left( {{5}^{x}}-1 \right).{{\log }_{25}}\left( {{5}^{x+1}}-5 \right)\le 1\Leftrightarrow {{\log }_{5}}\left( {{5}^{x}}-1 \right).\dfrac{1}{2}{{\log }_{5}}\left[ 5\left( {{5}^{x}}-1 \right) \right]\le 1$
$\Leftrightarrow {{\log }_{5}}\left( {{5}^{x}}-1 \right).\left[ 1+{{\log }_{5}}\left( {{5}^{x}}-1 \right) \right]-2\le 0$
$\Leftrightarrow \log _{5}^{2}\left[ {{5}^{x}}-1 \right]+{{\log }_{5}}\left( {{5}^{x}}-1 \right)-2\le 0$
$\Leftrightarrow \left[ {{\log }_{5}}\left( {{5}^{x}}-1 \right)-1 \right]\left[ {{\log }_{5}}\left( {{5}^{x}}-1 \right)+2 \right]\le 0$
$\Leftrightarrow -2\le {{\log }_{5}}\left( {{5}^{x}}-1 \right)\le 1\Leftrightarrow {{5}^{-2}}\le {{5}^{x}}-1\le {{5}^{1}}\Leftrightarrow \dfrac{1}{25}\le {{5}^{x}}-1\le 5$
$\Leftrightarrow \dfrac{26}{25}\le {{5}^{x}}\le 6\Leftrightarrow {{\log }_{5}}\dfrac{26}{25}\le x\le {{\log }_{5}}6$
Do đó tập nghiệm của bất phương trình là $\left[ {{\log }_{5}}\dfrac{26}{25};{{\log }_{5}}6 \right]\Rightarrow a={{\log }_{5}}\dfrac{26}{25};b={{\log }_{5}}6.$
$\Rightarrow a+b={{\log }_{5}}\dfrac{26}{25}+{{\log }_{5}}6={{\log }_{5}}\dfrac{156}{25}={{\log }_{5}}156-{{\log }_{5}}25={{\log }_{5}}156-2$
Đáp án C.