Google
Câu hỏi: Biết $A\left( {{x}_{A}}; {{y}_{A}} \right), B\left( {{x}_{B}}; {{y}_{B}} \right)$ là hai điểm thuộc hai nhánh khác nhau của đồ thị hàm số $y=\dfrac{x+1}{x-1}$ sao cho độ dài đoạn thẳng AB nhỏ nhất. Tính $T=x_{A}^{2}+x_{B}^{2}+{{y}_{A}}{{y}_{B}}$
A. $T=5$
B. $T=8$
C. $T=9$
D. $T=7$
A. $T=5$
B. $T=8$
C. $T=9$
D. $T=7$
Hàm số $y=\dfrac{x+1}{x-1}=1+\dfrac{2}{x-1}$
Tập xác định: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}$
Do A, B là hai điểm thuộc hai nhánh khác nhau của đồ thị hàm số nên gọi
$A\left( 1+a; \dfrac{2+a}{a} \right), B\left( 1-b; \dfrac{2-b}{-b} \right)\left( a, b>0 \right)$
Khi đó $A{{B}^{2}}={{\left( a+b \right)}^{2}}+\dfrac{4{{\left( a+b \right)}^{2}}}{{{a}^{2}}{{b}^{2}}} \ge 2\sqrt{\dfrac{4{{\left( a+b \right)}^{2}}}{{{a}^{2}}{{b}^{2}}}}\ge 2\sqrt{\dfrac{64{{a}^{2}}{{b}^{2}}}{{{a}^{2}}{{b}^{2}}}}=16$
Dấu bằng xảy ra khi $a=b=\sqrt{2}\Rightarrow A\left( 1+\sqrt{2}; 1+\sqrt{2} \right), B\left( 1-\sqrt{2}; 1-\sqrt{2} \right)$
Vậy $T={{\left( 1+\sqrt{2} \right)}^{2}}+\left( 1-\sqrt{2} \right)2+\left( 1+\sqrt{2} \right)\left( 1-\sqrt{2} \right)=5$
Tập xác định: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}$
Do A, B là hai điểm thuộc hai nhánh khác nhau của đồ thị hàm số nên gọi
$A\left( 1+a; \dfrac{2+a}{a} \right), B\left( 1-b; \dfrac{2-b}{-b} \right)\left( a, b>0 \right)$
Khi đó $A{{B}^{2}}={{\left( a+b \right)}^{2}}+\dfrac{4{{\left( a+b \right)}^{2}}}{{{a}^{2}}{{b}^{2}}} \ge 2\sqrt{\dfrac{4{{\left( a+b \right)}^{2}}}{{{a}^{2}}{{b}^{2}}}}\ge 2\sqrt{\dfrac{64{{a}^{2}}{{b}^{2}}}{{{a}^{2}}{{b}^{2}}}}=16$
Dấu bằng xảy ra khi $a=b=\sqrt{2}\Rightarrow A\left( 1+\sqrt{2}; 1+\sqrt{2} \right), B\left( 1-\sqrt{2}; 1-\sqrt{2} \right)$
Vậy $T={{\left( 1+\sqrt{2} \right)}^{2}}+\left( 1-\sqrt{2} \right)2+\left( 1+\sqrt{2} \right)\left( 1-\sqrt{2} \right)=5$
Đáp án A.