Bài Toán
Một vật thực hiện n dao động điều hòa cùng phương với $x=\sum_{k=1}^{n}a\cos(Wt+k\dfrac{\pi }{6})cm$ .Để biên độ dao động tổng hợp đạt giá trị cực đại thì phải có tối thiểu:
A. n=2
B. n=4
C. n=6
D. n=12
Ta có hình chiếu $A$ lên $Ox$ là:
$$A_x=a \sum^n_{k=1} \cos \left(k \dfrac{\pi}{6} \right)\\
=a \sum^n_{k=1} \Delta \left [ \left ( 1+\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right ) \sin \left (\dfrac{k \pi}{6} \right )-\dfrac{1}{2} \cos \left ( \dfrac{k \pi}{6} \right )\right ]\\
=a \left ( \left ( 1+\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right ) \sin \left (\dfrac{(n+1) \pi}{6} \right )-\dfrac{1}{2} \cos \left ( \dfrac{(n+1) \pi}{6} \right ) -\dfrac{1}{2}\right )$$
Ta có hình chiếu $A$ lên $Oy$ là:
$$A_x=a \sum^n_{k=1} \sin \left(k \dfrac{\pi}{6} \right)\\
=a \sum^n_{k=1} \Delta \left [ -\left ( 1+\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right ) \cos \left (\dfrac{k \pi}{6} \right )-\dfrac{1}{2} \sin \left ( \dfrac{k \pi}{6} \right )\right ]\\
=a \left ( - \left ( 1+\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right ) \cos \left (\dfrac{(n+1) \pi}{6} \right )-\dfrac{1}{2} \sin \left ( \dfrac{(n+1) \pi}{6} \right ) +1+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right )$$
Vậy:
$$A^2=A_x^2+A_y^2=a^2 \left ( 2+\sqrt{3} \right ) \left ( 2- \sin \left (\dfrac{(n+1) \pi}{6} \right )-\sqrt{3}\cos \left (\dfrac{(n+1) \pi}{6} \right ) \right )\\
=4 \left ( 2+\sqrt{3} \right ) a^2 \sin^2 \left (\dfrac{n \pi}{12} \right ) \leq 4 \left ( 2+\sqrt{3} \right ) a^2$$
Suy ra $$A_{\max}=2a\sqrt{ 2+\sqrt{3}} \Leftrightarrow \sin^2 \left (\dfrac{n \pi}{12} \right ) =1 \Leftrightarrow n=12k-6 \, \left ( k \in \mathbb{Z} \right )$$
Vậy đáp án là $n=6$
_________
Hơi dài ...
Google
