Bất phương trình $x\sqrt{x+1}\le (2x-3){.2}^{{\displaystyle \frac{-x^3+16x^2-48x+36}{x^2}}}$ có bao nhiêu nghiệm nguyên?

Điều kiện: $\{\begin{array}{rl}& x\ge -1\\ & x\ne 0\end{array}.$
Ta chỉ xét với các giá trị nguyên của $x.$
Với $x=\pm 1$ thay vào bất phương trình không thỏa mãn.
Với $x\ge 2,$ bất phương trình tương đương với:
$2x\sqrt{x+1}\le (4x-6){.2}^{{\displaystyle \frac{16x^2-48x+36}{x^2}}-x}\iff \sqrt{x+1}{.2}^{{\left(\sqrt{x+1}\right)}^2}\le {\displaystyle \frac{4x-6}{x}}{.2}^{{\left({\displaystyle \frac{4x-6}{x}}\right)}^2}(\ast )$
Xét hàm số $f\left(t\right)=2^{t^2}.t$ trên khoảng $(0;+\mathrm{\infty })$ ta có: $f^{\prime }\left(t\right)=2^{t^2}+2t^2{.2}^{t^2}.\ln 2>0,\mathrm{\forall }t>0.$
Vậy hàm số $f\left(t\right)$ đồng biến trên khoảng $(0;+\mathrm{\infty }),$ khi đó:
$(\ast )\iff f\left(\sqrt{x+1}\right)\le f\left({\displaystyle \frac{4x-6}{x}}\right)\iff \sqrt{x+1}\le {\displaystyle \frac{4x-6}{x}}$
$\iff x^2(x+1)\le 16x^2-48x+36\iff x^3-15x^2+48x-36\le 0$
$\iff (x-3)(x^2-12x+12)\le 0\iff [\begin{array}{rl}& x\le 6-2\sqrt{5}(\approx 1,101)\\ & 3\le x\le 6+2\sqrt{5}(\approx 10,898)\end{array}.$
Vậy bất phương trình có 8 nghiệm nguyên.