Bất phương trình $x\sqrt{x+1}\le \left( 2x-3 \right){{.2}^{\dfrac{-{{x}^{3}}+16{{x}^{2}}-48x+36}{{{x}^{2}}}}}$ có bao nhiêu nghiệm nguyên?

Điều kiện: $\left\{ \begin{aligned}
& x\ge -1 \\
& x\ne 0 \\
\end{aligned} \right..$
Ta chỉ xét với các giá trị nguyên của $x.$
Với $x=\pm 1$ thay vào bất phương trình không thỏa mãn.
Với $x\ge 2,$ bất phương trình tương đương với:
$2x\sqrt{x+1}\le \left( 4x-6 \right){{.2}^{\dfrac{16{{x}^{2}}-48x+36}{{{x}^{2}}}-x}}\Leftrightarrow \sqrt{x+1}{{.2}^{{{\left( \sqrt{x+1} \right)}^{2}}}}\le \dfrac{4x-6}{x}{{.2}^{{{\left( \dfrac{4x-6}{x} \right)}^{2}}}}\left( * \right)$
Xét hàm số $f\left( t \right)={{2}^{{{t}^{2}}}}.t$ trên khoảng $\left( 0;+\infty \right)$ ta có: $f'\left( t \right)={{2}^{{{t}^{2}}}}+2{{t}^{2}}{{.2}^{{{t}^{2}}}}.\ln 2>0,\forall t>0.$
Vậy hàm số $f\left( t \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( 0;+\infty \right),$ khi đó:
$\left( * \right)\Leftrightarrow f\left( \sqrt{x+1} \right)\le f\left( \dfrac{4x-6}{x} \right)\Leftrightarrow \sqrt{x+1}\le \dfrac{4x-6}{x}$
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}\left( x+1 \right)\le 16{{x}^{2}}-48x+36\Leftrightarrow {{x}^{3}}-15{{x}^{2}}+48x-36\le 0$
$\Leftrightarrow \left( x-3 \right)\left( {{x}^{2}}-12x+12 \right)\le 0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x\le 6-2\sqrt{5}\left( \approx 1,101 \right) \\
& 3\le x\le 6+2\sqrt{5}\left( \approx 10,898 \right) \\
\end{aligned} \right..$
Vậy bất phương trình có 8 nghiệm nguyên.