Google
Câu hỏi: Bất phương trình $\log _{2}^{2}x-\left( 2m+5 \right){{\log }_{2}}x+{{m}^{2}}+5m+4<0$ đúng với mọi $x\in [2;4)$ khi và chỉ khi
A. $m\in [0;1).$
B. $m\in [-2;0)$.
C. $m\in (0;1].$
D. $m\in (-2;0].$
A. $m\in [0;1).$
B. $m\in [-2;0)$.
C. $m\in (0;1].$
D. $m\in (-2;0].$
Yêu cầu bài toán tương đương với: $\log _{2}^{2}x-\left( 2m+5 \right){{\log }_{2}}x+{{m}^{2}}+5m+4<0,\forall x\in \!\![\!\!2;4)$
$\begin{aligned}
& \Leftrightarrow m+1<{{\log }_{2}}x<m+4,\forall x\in [2;4) \\
& \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m<{{\log }_{2}}x-1,\forall x\in [2;4) \\
& m>{{\log }_{2}}x-4,\forall x\in [2;4) \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m<\underset{\!\![\!\!2;4)}{\mathop{\min }} \left( {{\log }_{2}}x-1 \right) \\
& m\ge \underset{\!\![\!\!2;4)}{\mathop{\max }} \left( {{\log }_{2}}x-4 \right) \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned}$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m<{{\log }_{2}}2-1=0 \\
& m\ge {{\log }_{2}}4-4=-2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m\in [-2;0)$
Cách giải phương trình bậc hai có tham số m
Cho phương trình ${{t}^{2}}-\left( 2m+5 \right)t+{{m}^{2}}+5m+4=0\left( * \right)$
Cách 1: Cho $m=100$, phương trình (*) trở thành: ${{t}^{2}}-205t+10504=0$ có hai nghiệm ${{t}_{1}}=1001=m+1; {{t}_{2}}=1004=m+4$
Cách 2: Tính $\Delta ={{\left[ -\left( 2m+5 \right) \right]}^{2}}-4.1\left( {{m}^{2}}+5m+4 \right)=9>0\Rightarrow \sqrt{\Delta }=3$
Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt:
${{t}_{1}}=\dfrac{-\left[ -\left( 2m+5 \right) \right]-3}{2.1}=m+1; {{t}_{2}}=\dfrac{-\left[ -\left( 2m+5 \right) \right]+3}{2.1}=m+4$
$\begin{aligned}
& \Leftrightarrow m+1<{{\log }_{2}}x<m+4,\forall x\in [2;4) \\
& \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m<{{\log }_{2}}x-1,\forall x\in [2;4) \\
& m>{{\log }_{2}}x-4,\forall x\in [2;4) \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m<\underset{\!\![\!\!2;4)}{\mathop{\min }} \left( {{\log }_{2}}x-1 \right) \\
& m\ge \underset{\!\![\!\!2;4)}{\mathop{\max }} \left( {{\log }_{2}}x-4 \right) \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned}$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m<{{\log }_{2}}2-1=0 \\
& m\ge {{\log }_{2}}4-4=-2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m\in [-2;0)$
Cách giải phương trình bậc hai có tham số m
Cho phương trình ${{t}^{2}}-\left( 2m+5 \right)t+{{m}^{2}}+5m+4=0\left( * \right)$
Cách 1: Cho $m=100$, phương trình (*) trở thành: ${{t}^{2}}-205t+10504=0$ có hai nghiệm ${{t}_{1}}=1001=m+1; {{t}_{2}}=1004=m+4$
Cách 2: Tính $\Delta ={{\left[ -\left( 2m+5 \right) \right]}^{2}}-4.1\left( {{m}^{2}}+5m+4 \right)=9>0\Rightarrow \sqrt{\Delta }=3$
Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt:
${{t}_{1}}=\dfrac{-\left[ -\left( 2m+5 \right) \right]-3}{2.1}=m+1; {{t}_{2}}=\dfrac{-\left[ -\left( 2m+5 \right) \right]+3}{2.1}=m+4$
Đáp án B.