Bất phương trình $\log _{2}^{2}x-\left( 2m+5 \right){{\log...

The Professor · 17/12/21

Câu hỏi: Bất phương trình

\log_{2}^{2} x - (2 m + 5) \log_{2} x + m^{2} + 5 m + 4 < 0

đúng với mọi

x \in [2; 4)

khi và chỉ khi
A.

m \in [0; 1) .

B.

m \in [- 2; 0)

.
C.

m \in (0; 1] .

D.

m \in (- 2; 0] .

Yêu cầu bài toán tương đương với:

\log_{2}^{2} x - (2 m + 5) \log_{2} x + m^{2} + 5 m + 4 < 0, \forall x \in [2; 4)

\begin{aligned} \Leftrightarrow m + 1 < \log_{2} x < m + 4, \forall x \in [2; 4) \\ \Leftrightarrow {\begin{aligned} m < \log_{2} x - 1, \forall x \in [2; 4) \\ m > \log_{2} x - 4, \forall x \in [2; 4) \end{aligned} \Leftrightarrow {\begin{aligned} m < min_{[2; 4)} (\log_{2} x - 1) \\ m \geq max_{[2; 4)} (\log_{2} x - 4) \end{aligned} \end{aligned}

\Leftrightarrow {\begin{aligned} m < \log_{2} 2 - 1 = 0 \\ m \geq \log_{2} 4 - 4 = - 2 \end{aligned} \Leftrightarrow m \in [- 2; 0)

Cách giải phương trình bậc hai có tham số m
Cho phương trình

t^{2} - (2 m + 5) t + m^{2} + 5 m + 4 = 0 (*)

Cách 1: Cho

m = 100

, phương trình (*) trở thành:

t^{2} - 205 t + 10504 = 0

có hai nghiệm

t_{1} = 1001 = m + 1; t_{2} = 1004 = m + 4

Cách 2: Tính

Δ = {[- (2 m + 5)]}^{2} - 4.1 (m^{2} + 5 m + 4) = 9 > 0 \Rightarrow \sqrt{Δ} = 3

Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt:

t_{1} = \frac{- [- (2 m + 5)] - 3}{2.1} = m + 1; t_{2} = \frac{- [- (2 m + 5)] + 3}{2.1} = m + 4

Đáp án B.