Google
Câu hỏi: Bất phương trình $\left( \sqrt{{{25}^{x}}-4x.5{}^{x+1}+100x{}^{2}+2}+{{5}^{x}}-10x \right)\left( \sqrt{{{4}^{x}}+2}-{{2}^{x}} \right)\le 2$ có bao nhiêu nghiệm nguyên?
A. $3.$
B. $4.$
C. $2.$
D. $10.$
A. $3.$
B. $4.$
C. $2.$
D. $10.$
Điều kiện: ${{25}^{x}}-4x.5{}^{x+1}+100x{}^{2}+2\ge 0$
$\Leftrightarrow {{5}^{2x}}-2.10x.5{}^{x}+100x{}^{2}+2\ge 0$
$\Leftrightarrow \left( {{5}^{x}}-10x \right){}^{2}+2\ge 0$ (luôn thỏa mãn với mọi $x$ )
Đặt ${{5}^{x}}-10x=u$ và ${{2}^{x}}=v$. Bất phương trình đã cho trở thành $\left( \sqrt{u{}^{2}+2}+u \right)\left( \sqrt{{{v}^{2}}+2}-v \right)\le 2$
$\Leftrightarrow \left( \sqrt{u{}^{2}+2}+u \right)\left( \sqrt{{{v}^{2}}+2}-v \right)\left( \sqrt{{{v}^{2}}+2}+v \right)\le 2\left( \sqrt{{{v}^{2}}+2}+v \right)$
$\Leftrightarrow \sqrt{u{}^{2}+2}+u\le \sqrt{{{v}^{2}}+2}+v$
Hàm số $f\left( t \right)=\sqrt{t{}^{2}+2}+t$ có đạo hàm ${f}'\left( t \right)=\dfrac{t}{\sqrt{t{}^{2}+2}}+1=\dfrac{t+\sqrt{t{}^{2}+2}}{\sqrt{t{}^{2}+2}}>\dfrac{t+\left| t \right|}{\sqrt{t{}^{2}+2}}\ge 0,\forall t$ nên đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Do đó, $\sqrt{u{}^{2}+2}+u\le \sqrt{{{v}^{2}}+2}+v\Leftrightarrow f\left( u \right)\le f\left( v \right)\Leftrightarrow u\le v$.
Suy ra ${{5}^{x}}-10x\le {{2}^{x}}\Leftrightarrow {{5}^{x}}-10x-{{2}^{x}}\le 0$.
Xét $x$ là số nguyên:
Nếu $x\le -1$ thì ${{5}^{x}}-10x-{{2}^{x}}>0+10-\dfrac{1}{2}>0$.
Nếu $x=0$ thì ${{5}^{x}}-10x-{{2}^{x}}=1-10.0-1=0$.
Nếu $x=1$ thì ${{5}^{x}}-10x-{{2}^{x}}=5-10.1-2<0$.
Nếu $x=2$ thì ${{5}^{x}}-10x-{{2}^{x}}=25-10.2-4>0$.
Nếu $x\ge 3$ thì
${{5}^{x}}={{\left( 2+3 \right)}^{x}}={{2}^{x}}+C_{x}^{1}{{.2}^{x-1}}.3+C_{x}^{2}{{.2}^{x-2}}{{.3}^{2}}+\cdots $
$={{2}^{x}}+3x{{.2}^{x-1}}+C_{x}^{2}{{.2}^{x-2}}{{.3}^{2}}+\cdots >{{2}^{x}}+12x>{{2}^{x}}+10x$
Suy ra ${{5}^{x}}-10x-{{2}^{x}}>0$.
Vậy bất phương trình đã cho có đúng hai nghiệm nguyên là $x=0$ và $x=1$.
$\Leftrightarrow {{5}^{2x}}-2.10x.5{}^{x}+100x{}^{2}+2\ge 0$
$\Leftrightarrow \left( {{5}^{x}}-10x \right){}^{2}+2\ge 0$ (luôn thỏa mãn với mọi $x$ )
Đặt ${{5}^{x}}-10x=u$ và ${{2}^{x}}=v$. Bất phương trình đã cho trở thành $\left( \sqrt{u{}^{2}+2}+u \right)\left( \sqrt{{{v}^{2}}+2}-v \right)\le 2$
$\Leftrightarrow \left( \sqrt{u{}^{2}+2}+u \right)\left( \sqrt{{{v}^{2}}+2}-v \right)\left( \sqrt{{{v}^{2}}+2}+v \right)\le 2\left( \sqrt{{{v}^{2}}+2}+v \right)$
$\Leftrightarrow \sqrt{u{}^{2}+2}+u\le \sqrt{{{v}^{2}}+2}+v$
Hàm số $f\left( t \right)=\sqrt{t{}^{2}+2}+t$ có đạo hàm ${f}'\left( t \right)=\dfrac{t}{\sqrt{t{}^{2}+2}}+1=\dfrac{t+\sqrt{t{}^{2}+2}}{\sqrt{t{}^{2}+2}}>\dfrac{t+\left| t \right|}{\sqrt{t{}^{2}+2}}\ge 0,\forall t$ nên đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Do đó, $\sqrt{u{}^{2}+2}+u\le \sqrt{{{v}^{2}}+2}+v\Leftrightarrow f\left( u \right)\le f\left( v \right)\Leftrightarrow u\le v$.
Suy ra ${{5}^{x}}-10x\le {{2}^{x}}\Leftrightarrow {{5}^{x}}-10x-{{2}^{x}}\le 0$.
Xét $x$ là số nguyên:
Nếu $x\le -1$ thì ${{5}^{x}}-10x-{{2}^{x}}>0+10-\dfrac{1}{2}>0$.
Nếu $x=0$ thì ${{5}^{x}}-10x-{{2}^{x}}=1-10.0-1=0$.
Nếu $x=1$ thì ${{5}^{x}}-10x-{{2}^{x}}=5-10.1-2<0$.
Nếu $x=2$ thì ${{5}^{x}}-10x-{{2}^{x}}=25-10.2-4>0$.
Nếu $x\ge 3$ thì
${{5}^{x}}={{\left( 2+3 \right)}^{x}}={{2}^{x}}+C_{x}^{1}{{.2}^{x-1}}.3+C_{x}^{2}{{.2}^{x-2}}{{.3}^{2}}+\cdots $
$={{2}^{x}}+3x{{.2}^{x-1}}+C_{x}^{2}{{.2}^{x-2}}{{.3}^{2}}+\cdots >{{2}^{x}}+12x>{{2}^{x}}+10x$
Suy ra ${{5}^{x}}-10x-{{2}^{x}}>0$.
Vậy bất phương trình đã cho có đúng hai nghiệm nguyên là $x=0$ và $x=1$.
Đáp án C.