Bất phương trình ${{9}^{x}}-2\left( x+5 \right){{3}^{x}}+9\left(...

Đặt $t=3^x,t>0.$ Khi đó bất phương trình đã cho trở thành
$t^2-2(x+5)t+9(2x+1)\ge 0\iff (t-9)(t-2x-1)\ge 0.$
* Trường hợp 1: $\{\begin{array}{rl}& t-9\ge 0\\ & t-2x-1\ge 0\end{array}\iff \{\begin{array}{rl}& t\ge 9\\ & t-2x-1\ge 0\end{array}\iff \{\begin{array}{rl}& 3^x\ge 9\left(1\right)\\ & 3^x-2x-1\ge 0.\left(2\right)\end{array}$
Xét bất phương trình $\left(2\right):$
Đặt $g\left(x\right)=3^x-2x-1$ trên $\mathbb{R}.$ Ta có $g^{\prime }\left(x\right)=3^x\ln 3-2.$
Gọi $x_0$ là nghiệm duy nhất của phương trình $g^{\prime }\left(x\right)=0,x_0>0.$
Khi đó, $g\left(x\right)=0$ có nhiều nhất hai nghiệm.
Xét thấy, $g\left(x\right)=0$ có hai nghiệm là $x=0$ và $x=1.$
Ta có bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta có $\left(2\right)\iff [\begin{array}{rl}& x\le 0\\ & x\ge 1\end{array}.$
Mặt khác $\left(1\right)\iff x\ge 2.$
Kết hợp $\left(1\right)$ và $\left(2\right)$ suy ra
$x\ge 2$ $(\ast )$
* Trường hợp 2: $\{\begin{array}{rl}& t-9\le 0\\ & t-2x-1\le 0\end{array}\iff \{\begin{array}{rl}& t\le 9\\ & t-2x-1\le 0\end{array}\iff \{\begin{array}{rl}& 3^x\le 9\\ & 3^x-2x-1\le 0\end{array}$ $\begin{array}{rl}& \left(3\right)\\ & \left(4\right)\end{array}$
Xét bất phương trình $\left(4\right):$
Đặt $g\left(x\right)=3^x-2x-1$ trên $\mathbb{R}.$ Ta có $g^{\prime }\left(x\right)=3^x\ln 3-2.$
Gọi $x_0$ là nghiệm duy nhất của phương trình $g^{\prime }\left(x\right)=0,x_0>0$
Khi đó, $g\left(x\right)=0$ có nhiều nhất hai nghiệm.
Xét thấy, $g\left(x\right)=0$ có hai nghiệm là $x=0$ và $x=1$
Ta có bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta có $\left(4\right)\iff 0\le x\le 1.$
Mặt khác, $\left(3\right)\iff x\le 2.$
Kết hợp $\left(3\right)$ và $\left(4\right)$ suy ra
$0\le x\le 1.$ $(\ast \ast )$
Kết hợp (*) và (**) ta được tập nghiệm của bất phương trình đã cho là $S=[0;1]\cup [2;+\mathrm{\infty }).$
Vậy tổng $a+b+c=3.$