Google
Câu hỏi: Bất phương trình ${{9}^{x}}-2\left( x+5 \right){{3}^{x}}+9\left( 2x+1 \right)\ge 0$ có tập nghiệm là $S=\left[ a;b \right]\cup \left[ c;+\infty \right).$ Tính tổng $a+b+c$
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
Đặt $t={{3}^{x}},t>0.$ Khi đó bất phương trình đã cho trở thành
${{t}^{2}}-2\left( x+5 \right)t+9\left( 2x+1 \right)\ge 0\Leftrightarrow \left( t-9 \right)\left( t-2x-1 \right)\ge 0.$
* Trường hợp 1: $\left\{ \begin{aligned}
& t-9\ge 0 \\
& t-2x-1\ge 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& t\ge 9 \\
& t-2x-1\ge 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{3}^{x}}\ge 9\left( 1 \right) \\
& {{3}^{x}}-2x-1\ge 0.\text{ }\left( 2 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Xét bất phương trình $\left( 2 \right):$
Đặt $g\left( x \right)={{3}^{x}}-2x-1$ trên $\mathbb{R}.$ Ta có $g'\left( x \right)={{3}^{x}}\ln 3-2.$
Gọi ${{x}_{0}}$ là nghiệm duy nhất của phương trình $g'\left( x \right)=0,{{x}_{0}}>0.$
Khi đó, $g\left( x \right)=0$ có nhiều nhất hai nghiệm.
Xét thấy, $g\left( x \right)=0$ có hai nghiệm là $x=0$ và $x=1.$
Ta có bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên ta có $\left( 2 \right)\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x\le 0 \\
& x\ge 1 \\
\end{aligned} \right..$
Mặt khác $\left( 1 \right)\Leftrightarrow x\ge 2.$
Kết hợp $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ suy ra
$x\ge 2$ $\left( * \right)$
* Trường hợp 2: $\left\{ \begin{aligned}
& t-9\le 0 \\
& t-2x-1\le 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& t\le 9 \\
& t-2x-1\le 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{3}^{x}}\le 9 \\
& {{3}^{x}}-2x-1\le 0 \\
\end{aligned} \right. $ $ \begin{aligned}
& \left( 3 \right) \\
& \left( 4 \right) \\
\end{aligned}$
Xét bất phương trình $\left( 4 \right):$
Đặt $g\left( x \right)={{3}^{x}}-2x-1$ trên $\mathbb{R}.$ Ta có $g'\left( x \right)={{3}^{x}}\ln 3-2.$
Gọi ${{x}_{0}}$ là nghiệm duy nhất của phương trình $g'\left( x \right)=0,{{x}_{0}}>0$
Khi đó, $g\left( x \right)=0$ có nhiều nhất hai nghiệm.
Xét thấy, $g\left( x \right)=0$ có hai nghiệm là $x=0$ và $x=1$
Ta có bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên ta có $\left( 4 \right)\Leftrightarrow 0\le x\le 1.$
Mặt khác, $\left( 3 \right)\Leftrightarrow x\le 2.$
Kết hợp $\left( 3 \right)$ và $\left( 4 \right)$ suy ra
$0\le x\le 1.$ $\left( ** \right)$
Kết hợp (*) và (**) ta được tập nghiệm của bất phương trình đã cho là $S=\left[ 0;1 \right]\cup \left[ 2;+\infty \right).$
Vậy tổng $a+b+c=3.$
${{t}^{2}}-2\left( x+5 \right)t+9\left( 2x+1 \right)\ge 0\Leftrightarrow \left( t-9 \right)\left( t-2x-1 \right)\ge 0.$
* Trường hợp 1: $\left\{ \begin{aligned}
& t-9\ge 0 \\
& t-2x-1\ge 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& t\ge 9 \\
& t-2x-1\ge 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{3}^{x}}\ge 9\left( 1 \right) \\
& {{3}^{x}}-2x-1\ge 0.\text{ }\left( 2 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Xét bất phương trình $\left( 2 \right):$
Đặt $g\left( x \right)={{3}^{x}}-2x-1$ trên $\mathbb{R}.$ Ta có $g'\left( x \right)={{3}^{x}}\ln 3-2.$
Gọi ${{x}_{0}}$ là nghiệm duy nhất của phương trình $g'\left( x \right)=0,{{x}_{0}}>0.$
Khi đó, $g\left( x \right)=0$ có nhiều nhất hai nghiệm.
Xét thấy, $g\left( x \right)=0$ có hai nghiệm là $x=0$ và $x=1.$
Ta có bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên ta có $\left( 2 \right)\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x\le 0 \\
& x\ge 1 \\
\end{aligned} \right..$
Mặt khác $\left( 1 \right)\Leftrightarrow x\ge 2.$
Kết hợp $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ suy ra
$x\ge 2$ $\left( * \right)$
* Trường hợp 2: $\left\{ \begin{aligned}
& t-9\le 0 \\
& t-2x-1\le 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& t\le 9 \\
& t-2x-1\le 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{3}^{x}}\le 9 \\
& {{3}^{x}}-2x-1\le 0 \\
\end{aligned} \right. $ $ \begin{aligned}
& \left( 3 \right) \\
& \left( 4 \right) \\
\end{aligned}$
Xét bất phương trình $\left( 4 \right):$
Đặt $g\left( x \right)={{3}^{x}}-2x-1$ trên $\mathbb{R}.$ Ta có $g'\left( x \right)={{3}^{x}}\ln 3-2.$
Gọi ${{x}_{0}}$ là nghiệm duy nhất của phương trình $g'\left( x \right)=0,{{x}_{0}}>0$
Khi đó, $g\left( x \right)=0$ có nhiều nhất hai nghiệm.
Xét thấy, $g\left( x \right)=0$ có hai nghiệm là $x=0$ và $x=1$
Ta có bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên ta có $\left( 4 \right)\Leftrightarrow 0\le x\le 1.$
Mặt khác, $\left( 3 \right)\Leftrightarrow x\le 2.$
Kết hợp $\left( 3 \right)$ và $\left( 4 \right)$ suy ra
$0\le x\le 1.$ $\left( ** \right)$
Kết hợp (*) và (**) ta được tập nghiệm của bất phương trình đã cho là $S=\left[ 0;1 \right]\cup \left[ 2;+\infty \right).$
Vậy tổng $a+b+c=3.$
Đáp án D.