Google
Câu hỏi: . Bất phương trình ${{4}^{x}}-\left( m+1 \right){{2}^{x+1}}+m\ge 0$ nghiệm đúng với mọi $x\ge 0$. Tập tất cả các giá trị của m là
A. $\left( -\infty ;12 \right).$
B. $\left( -\infty ;-1 \right].$
C. $\left( -\infty ;0 \right].$
D. $\left( -1;16 \right].$
A. $\left( -\infty ;12 \right).$
B. $\left( -\infty ;-1 \right].$
C. $\left( -\infty ;0 \right].$
D. $\left( -1;16 \right].$
Đặt $t={{2}^{x}}$. Với $x\ge 0$ thì $t\ge 1.$
Bất phương trình đã cho trở thành: ${{t}^{2}}-2\left( m-1 \right)t+m\ge 0\left( * \right)$.
Bài toán trở thành: Tìm m để bất phương trình (*) nghiệm đúng với mọi $t\ge 1.$
Ta có: $\left( * \right)\Leftrightarrow {{t}^{2}}-2t\ge m\left( 2t-1 \right)\Leftrightarrow m\le \dfrac{{{t}^{2}}-2t}{2t-1}$ (Do $t\ge 1$ ).
Xét hàm số: $f\left( t \right)=\dfrac{{{t}^{2}}-2t}{2t-1}$ trên $\left[ 1;+\infty \right)$ có đạo hàm ${f}'\left( t \right)=\dfrac{2{{t}^{2}}-2t+2}{{{\left( 2t-1 \right)}^{2}}}>0$ với mọi $t\ge 1.$
Hàm số đồng biến dẫn đến $\underset{\left[ 1;+\infty \right)}{\mathop{Min}} f\left( t \right)=-1.$
Do đó để bất phương trình (*) nghiệm đúng với mọi $t\ge 1$ thì $m\le \underset{\left[ 1;+\infty \right)}{\mathop{Min}} f\left( t \right)=-1.$
Bất phương trình đã cho trở thành: ${{t}^{2}}-2\left( m-1 \right)t+m\ge 0\left( * \right)$.
Bài toán trở thành: Tìm m để bất phương trình (*) nghiệm đúng với mọi $t\ge 1.$
Ta có: $\left( * \right)\Leftrightarrow {{t}^{2}}-2t\ge m\left( 2t-1 \right)\Leftrightarrow m\le \dfrac{{{t}^{2}}-2t}{2t-1}$ (Do $t\ge 1$ ).
Xét hàm số: $f\left( t \right)=\dfrac{{{t}^{2}}-2t}{2t-1}$ trên $\left[ 1;+\infty \right)$ có đạo hàm ${f}'\left( t \right)=\dfrac{2{{t}^{2}}-2t+2}{{{\left( 2t-1 \right)}^{2}}}>0$ với mọi $t\ge 1.$
Hàm số đồng biến dẫn đến $\underset{\left[ 1;+\infty \right)}{\mathop{Min}} f\left( t \right)=-1.$
Do đó để bất phương trình (*) nghiệm đúng với mọi $t\ge 1$ thì $m\le \underset{\left[ 1;+\infty \right)}{\mathop{Min}} f\left( t \right)=-1.$
Đáp án B.