. Bất phương trình ${{4}^{x}}-\left( m+1 \right){{2}^{x+1}}+m\ge...

Đặt $t=2^x$. Với $x\ge 0$ thì $t\ge 1.$
Bất phương trình đã cho trở thành: $t^2-2(m-1)t+m\ge 0(\ast )$.
Bài toán trở thành: Tìm m để bất phương trình (*) nghiệm đúng với mọi $t\ge 1.$
Ta có: $(\ast )\iff t^2-2t\ge m(2t-1)\iff m\le {\displaystyle \frac{t^2-2t}{2t-1}}$ (Do $t\ge 1$ ).
Xét hàm số: $f\left(t\right)={\displaystyle \frac{t^2-2t}{2t-1}}$ trên $[1;+\mathrm{\infty })$ có đạo hàm $f^{\prime }\left(t\right)={\displaystyle \frac{2t^2-2t+2}{{(2t-1)}^2}}>0$ với mọi $t\ge 1.$
Hàm số đồng biến dẫn đến $\underset{[1;+\mathrm{\infty })}{Min}f\left(t\right)=-1.$
Do đó để bất phương trình (*) nghiệm đúng với mọi $t\ge 1$ thì $m\le \underset{[1;+\mathrm{\infty })}{Min}f\left(t\right)=-1.$