Bán kính của mặt cầu ngoại tiếp chóp đều S.ABC có tất cả các cạnh...

The Professor · 16/12/21

Câu hỏi: Bán kính của mặt cầu ngoại tiếp chóp đều S.ABC có tất cả các cạnh bằng a là:
A.

\frac{3 a \sqrt{6}}{4}

B.

\frac{a \sqrt{6}}{12}

C.

\frac{a \sqrt{6}}{4}

D.

\frac{a \sqrt{6}}{2}

Gọi O là trọng tâm tam giác ABC $\Rightarrow S O ⊥ (A B C)$ .
Gọi M là trung điểm của SA.
Trong

(S O A)

kẻ

I M ⊥ S A (I \in S O)

ta có

IS = I A

.
Lại có

I \in S O \Rightarrow I A = I B = I C \Rightarrow I A = I B = I C = I S \Rightarrow I

là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp S.ABC.
Tam giác ABC đều cạnh

\Rightarrow A E = \frac{a \sqrt{3}}{2} \Rightarrow A O = \frac{2}{3} A E = \frac{a \sqrt{3}}{3}

Xét tam giác vuông SOA:

S O = \sqrt{S A^{2} - O A^{2}} = \sqrt{a^{2} - \frac{a^{2}}{3}} = \frac{a \sqrt{6}}{3}

.
Dễ thấy

Δ S O A \sim Δ SMI (g . g) \Rightarrow \frac{S I}{S A} = \frac{S M}{S O} \Rightarrow S I = \frac{S A . S M}{S O} = \frac{a . \frac{a}{2}}{\frac{a \sqrt{6}}{3}} = \frac{a \sqrt{6}}{4}

.
Vậy

R = \frac{a \sqrt{6}}{4}

.

Đáp án C.