Google
Câu hỏi: Bạn Bình muốn làm một chiếc thùng hình trụ không đáy từ nguyên liệu là mảnh tôn hình tam giác đều ABCcó cạnh bằng 60 ( cm) . Bạn muốn cắt mảnh tôn hình chữ nhật MNPQtừ mảnh tôn nguyên liệu (với ,M Nthuộc cạnh BC; ,P Qtương ứng thuộc cạnh ACvà AB) để tạo thành hình trụ có chiều cao bằng MQ. Thể tích lớn nhất của chiếc thùng mà bạn Bình có thể làm được là:
A. $\dfrac{8000\sqrt{3}}{\pi }\left( c{{m}^{3}} \right)$
B. $\dfrac{6825}{4\pi }\left( c{{m}^{3}} \right)$
C. $\dfrac{6825}{2\pi }\left( c{{m}^{3}} \right)$
D. $\dfrac{4000\sqrt{3}}{\pi }\left( c{{m}^{3}} \right)$
Phương pháp:
- Đưa độ dài cạnh hình chữ nhật MNPQ về cùng một biến và tìm điều kiện của biến.
- Hình trụ tạo thành có chiều cao bằng MQ và chu vi đáy bằng MN.
- Tính thể tích của hình trụ theo biến.
- Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm số.
Cách giải:
Gọi H là trung điểm của BC ⇒ H cũng là trung điểm của MN.
AH BC Do ABC là tam giác đều có cạnh bằng 60 (cm) nên $\left\{ \begin{aligned}
& AH\bot BC \\
& BH=HC=30~\left( cm~ \right) \\
& AH=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.BC=30\sqrt{3}\left( cm~ \right)~ \\
\end{aligned} \right.$
Đặt $BM=x,doBM<BH\Rightarrow 0<x<30$, ta có :
MH = BH - BM = $30-x$
⇒ MN = 2MH = 60- 2x
$\left\{ \begin{aligned}
& AH\bot BC \\
& QM\bot MN\Rightarrow QM\bot BC \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AH\parallel QM$
$\dfrac{QM}{AH}=\dfrac{BM}{BH}\Leftrightarrow \dfrac{QM}{30\sqrt{3}}=\dfrac{x}{30}$
$~\Leftrightarrow QM=3x$ (Định lí Ta-lét)
Gọi r là bán kính đáy của hình trụ được tạo thành.
Hình trụ được tạo thành có chiều cao bằng $MQ=\sqrt{3}x$ và chu vi đáy bằng MN nên :
$2\pi r=MN\Leftrightarrow 2\pi =60-2x\Leftrightarrow \dfrac{30-x}{\pi }$
Thể tích của hình trụ được tạo thành từ hình chữ nhật MNPQ là :
$\begin{aligned}
& V=\pi {{r}^{2}}.MQ=\pi .{{\left( \dfrac{30-x}{\pi } \right)}^{2}}.\sqrt{3}x \\
& =\dfrac{\sqrt{3}x\left( 900-60x+{{x}^{2}} \right)}{\pi } \\
& =\dfrac{\sqrt{3}}{\pi }\left( {{x}^{3}}-60{{x}^{2}}+900x \right) \\
\end{aligned}$
Xét hàm số $f\left( x \right)={{x}^{3}}-60{{x}^{2}}+900x$ trên khoảng ( 0;30 ) ta có :
$\begin{aligned}
& f'\left( x \right)~=3{{x}^{2}}-120x~+~900 \\
& f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=30\left( ktm \right) \\
& x=10\left( tm \right) \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow x=10 \\
\end{aligned}$
Ta có BBT như sau:
Từ BBT ta thấy $\underset{_{(0;30)}}{\mathop{max}} f\left( x \right)=f\left( 10 \right)=4000.~$
Do đó, thể tích lớn nhất của hình trụ tạo được là $\dfrac{4000\sqrt{3}}{\pi }\left( c{{m}^{3}} \right).$
A. $\dfrac{8000\sqrt{3}}{\pi }\left( c{{m}^{3}} \right)$
B. $\dfrac{6825}{4\pi }\left( c{{m}^{3}} \right)$
C. $\dfrac{6825}{2\pi }\left( c{{m}^{3}} \right)$
D. $\dfrac{4000\sqrt{3}}{\pi }\left( c{{m}^{3}} \right)$
Phương pháp:
- Đưa độ dài cạnh hình chữ nhật MNPQ về cùng một biến và tìm điều kiện của biến.
- Hình trụ tạo thành có chiều cao bằng MQ và chu vi đáy bằng MN.
- Tính thể tích của hình trụ theo biến.
- Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm số.
Cách giải:
Gọi H là trung điểm của BC ⇒ H cũng là trung điểm của MN.
AH BC Do ABC là tam giác đều có cạnh bằng 60 (cm) nên $\left\{ \begin{aligned}
& AH\bot BC \\
& BH=HC=30~\left( cm~ \right) \\
& AH=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.BC=30\sqrt{3}\left( cm~ \right)~ \\
\end{aligned} \right.$
Đặt $BM=x,doBM<BH\Rightarrow 0<x<30$, ta có :
MH = BH - BM = $30-x$
⇒ MN = 2MH = 60- 2x
$\left\{ \begin{aligned}
& AH\bot BC \\
& QM\bot MN\Rightarrow QM\bot BC \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AH\parallel QM$
$\dfrac{QM}{AH}=\dfrac{BM}{BH}\Leftrightarrow \dfrac{QM}{30\sqrt{3}}=\dfrac{x}{30}$
$~\Leftrightarrow QM=3x$ (Định lí Ta-lét)
Gọi r là bán kính đáy của hình trụ được tạo thành.
Hình trụ được tạo thành có chiều cao bằng $MQ=\sqrt{3}x$ và chu vi đáy bằng MN nên :
$2\pi r=MN\Leftrightarrow 2\pi =60-2x\Leftrightarrow \dfrac{30-x}{\pi }$
Thể tích của hình trụ được tạo thành từ hình chữ nhật MNPQ là :
$\begin{aligned}
& V=\pi {{r}^{2}}.MQ=\pi .{{\left( \dfrac{30-x}{\pi } \right)}^{2}}.\sqrt{3}x \\
& =\dfrac{\sqrt{3}x\left( 900-60x+{{x}^{2}} \right)}{\pi } \\
& =\dfrac{\sqrt{3}}{\pi }\left( {{x}^{3}}-60{{x}^{2}}+900x \right) \\
\end{aligned}$
Xét hàm số $f\left( x \right)={{x}^{3}}-60{{x}^{2}}+900x$ trên khoảng ( 0;30 ) ta có :
$\begin{aligned}
& f'\left( x \right)~=3{{x}^{2}}-120x~+~900 \\
& f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=30\left( ktm \right) \\
& x=10\left( tm \right) \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow x=10 \\
\end{aligned}$
Ta có BBT như sau:
Từ BBT ta thấy $\underset{_{(0;30)}}{\mathop{max}} f\left( x \right)=f\left( 10 \right)=4000.~$
Do đó, thể tích lớn nhất của hình trụ tạo được là $\dfrac{4000\sqrt{3}}{\pi }\left( c{{m}^{3}} \right).$
Đáp án D.