Google
Câu hỏi: Xét một vật rắn đồng chất, đẳng hướng và có dạng khối lập phương. Hãy chứng minh độ tăng thể tích ∆V của vật rắn này khi bị nung nóng từ nhiệt độ đầu t0 đến nhiệt độ t được xác định bởi công thức:
∆V = V – V0 = βV0∆t
Với V0 và V lần lượt là thể tích của vật rắn ở nhiệt độ đầu t0 và nhiệt độ cuối t, ∆t = t – t0, β ≈ 3α (α là hệ số nở dài của vật rắn này)
Chú ý: α 2 và α3 rất nhỏ so với α.
∆V = V – V0 = βV0∆t
Với V0 và V lần lượt là thể tích của vật rắn ở nhiệt độ đầu t0 và nhiệt độ cuối t, ∆t = t – t0, β ≈ 3α (α là hệ số nở dài của vật rắn này)
Chú ý: α 2 và α3 rất nhỏ so với α.
Phương pháp giải
Độ nở dài của vật rắn tỉ lệ thuận với độ tăng nhiệt độ ∆t và độ dài ban đầu l0 của vật đó.
\(\Delta l = l - {l_0} = \alpha {l_0}\Delta t\)
Lời giải chi tiết
+ Ở t0 (0C) cạnh hình lập phương là l0 => thể tích của khối lập phương là: V0 = l03
+ Ở t (0C) cạnh hình lập phương là l => thể tích của khối lập phương ở t (0C) là: V = l3
Ta có:
\(\eqalign{
& l = {l_0}\left({1 + \alpha .\Delta t} \right) \Rightarrow {l^3} = {\left[ {{l_0}\left({1 + \alpha .\Delta t} \right)} \right]^3}\cr& \Leftrightarrow {l^3} = l_0^3{\left({1 + \alpha .\Delta t} \right)^3} \cr
& \Leftrightarrow V = {V_0}{\left({1 + \alpha .\Delta t} \right)^3} \cr} \)
Lại có: \({\left( {1 + \alpha .\Delta t} \right)^3} = 1 + 3\alpha .\Delta t + 3{\alpha ^2}.\Delta {t^2} + {\alpha ^3}.\Delta {t^3}\)
Vì α2 và α3 rất nhỏ so với α nên có thể bỏ qua
\(\eqalign{
& \Rightarrow V = {l^3} = {V_0} \left({1 + 3\alpha .\Delta t} \right) = {V_o} \left({1 + \beta .\Delta t} \right) \cr
& \Rightarrow \Delta V = V - {V_0} = {V_o} \left({1 + \beta .\Delta t} \right) - {V_0} = {V_0}\beta .\Delta t \cr} \)
Độ nở dài của vật rắn tỉ lệ thuận với độ tăng nhiệt độ ∆t và độ dài ban đầu l0 của vật đó.
\(\Delta l = l - {l_0} = \alpha {l_0}\Delta t\)
Lời giải chi tiết
+ Ở t0 (0C) cạnh hình lập phương là l0 => thể tích của khối lập phương là: V0 = l03
+ Ở t (0C) cạnh hình lập phương là l => thể tích của khối lập phương ở t (0C) là: V = l3
Ta có:
\(\eqalign{
& l = {l_0}\left({1 + \alpha .\Delta t} \right) \Rightarrow {l^3} = {\left[ {{l_0}\left({1 + \alpha .\Delta t} \right)} \right]^3}\cr& \Leftrightarrow {l^3} = l_0^3{\left({1 + \alpha .\Delta t} \right)^3} \cr
& \Leftrightarrow V = {V_0}{\left({1 + \alpha .\Delta t} \right)^3} \cr} \)
Lại có: \({\left( {1 + \alpha .\Delta t} \right)^3} = 1 + 3\alpha .\Delta t + 3{\alpha ^2}.\Delta {t^2} + {\alpha ^3}.\Delta {t^3}\)
Vì α2 và α3 rất nhỏ so với α nên có thể bỏ qua
\(\eqalign{
& \Rightarrow V = {l^3} = {V_0} \left({1 + 3\alpha .\Delta t} \right) = {V_o} \left({1 + \beta .\Delta t} \right) \cr
& \Rightarrow \Delta V = V - {V_0} = {V_o} \left({1 + \beta .\Delta t} \right) - {V_0} = {V_0}\beta .\Delta t \cr} \)