Bài 79 trang 62 SGK giải tích 12 nâng cao

Câu hỏi: Cho hàm số :

Câu a​

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
Lời giải chi tiết:
Tập xác định:

Hàm số đồng biến trên các khoảng:
Hàm số nghịch biến trên các khoảng:
+) Cực trị:
Hàm số đạt cực đại tại:
Hàm số đạt cực tiểu tại:
+) Giới hạn:

Tiệm cận đứng:


Tiệm cận xiên:
Bảng biến thiên:

Đồ thị:

Câu b​

Tiếp tuyến của đường cong (C) tại điểm cắt tiệm cận đứng và tiệm cận xiên tại hai điểm A và B. Chứng minh rằng M là trung điểm của đoạn thẳng AB và tam giác OAB có diện tích không phụ thuộc vào vị trí điểm M trên đường cong (C).
Lời giải chi tiết:
Tiệm cận đứng x = 0; Tiệm cận xiên y = x.
Ta có .
Phương trình tiếp tuyến của đường cong (C) tại điểm là
Thay x = 0 vào phương trình trên, ta được tung độ của điểm A:
.
Vậy
Hoành độ của điểm B là nghiệm của phương trình


.
Vậy
Ta có:
Vì ba điểm A, M, B thẳng hàng nên từ đó suy ra rằng M là trung điểm của đoạn thẳng AB.
Ta thấy, khoảng cách từ B đến trục Oy bằng 2x0​ là độ dài đường cao kẻ từ B của OAB, OA có độ dài bằng 2/x0​ .
Diện tích tam giác OAB là
với