Google
Câu hỏi: Hai ròng rọc có tâm \(O, O’\) và bán kính \(R = 4a,\) \(R’ = a.\) Hai tiếp tuyến chung \(MN\) và \(PQ\) cắt nhau tại \(A\) theo góc \(60^\circ.\) Tìm độ dài của dây cua- roa mắc qua hai ròng rọc.
Phương pháp giải
Ta sử dụng kiến thức:
+) Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến.
+) Trong tam giác vuông, bình phương mỗi cạnh góc vuông bằng cạnh góc vuông kia nhân với cotang góc kề.
+) Trong đường tròn \(R,\) độ dài \(l\) của một cung \(n^\circ\) được tính theo công thức: \(l=\dfrac{\pi Rn}{180}.\)
Lời giải chi tiết
+) Vì hai tiếp tuyến chung của đường tròn \((O)\) và \((O’)\) cắt nhau tại \(A\) nên \(O, O’, A\) thẳng hàng.
\(\widehat {OAM} = \widehat {OAP} = \displaystyle{1 \over 2}\widehat {MAP}\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
\( \Rightarrow \widehat {OAM} = {30^0}\)
+) Trong tam giác vuông \(OMA\) có \(\widehat {OMA} = {90^0}\)
\( \Rightarrow MA = OM.\cot \widehat {OAM}\)
\( = 4a\cot {30^0} = 4a\sqrt 3 \)
+) Trong tam giác vuông \(O’NA\) có \(\widehat {O'NA} = {90^0}\)
\( \Rightarrow NA = O'N\cot \widehat {O'AN} \)\(= a\cot {30^0} = a\sqrt 3 \)
Từ đó: \(MN = MA - NA \)\(= 4a\sqrt 3 - a\sqrt 3 = 3a\sqrt 3 \)
+) Trong tứ giác \(O’NAQ\) có \(\widehat N = \widehat Q = {90^0}\); \(\widehat A = {60^0}\)
Suy ra: \(\widehat {NO'Q} = 360^0-(90^0+90^0+60^0)\)\(={120^0}\) (tổng bốn góc trong tứ giác bằng \(360^0)\)
Độ dài cung nhỏ \(\overparen{NQ}\) là: \({l_1} =\displaystyle {{\pi .a.120} \over {180}} = {{2\pi a} \over 3}\)
+) Trong tứ giác \(OMAP\) có \(\widehat M = \widehat P = {90^0}\); \(\widehat A = {60^0}\)
Suy ra: \(\widehat {MOP} = 360^0-(90^0+90^0+60^0)\)\(={120^0}\) (tổng bốn góc trong tứ giác bằng \(360^0)\) nên số đo cung nhỏ \(\overparen{MP}\) bằng \({120^0}\)
\(sđ \overparen{MnP}\) \( = {360^0} - {120^0} = {240^0}\)
Độ dài cung lớn \(\overparen{MnP}\) là \({l_2} = \displaystyle{{\pi .4a.240} \over {180}} = {{16\pi a} \over 3}\)
Chiều dài của dây cua – roa mắc qua hai ròng rọc là:
\(2MN + {l_1} + {l_2}\)\( = \displaystyle2.3a\sqrt 3 + {{2\pi a} \over 3} + {{16\pi a} \over 3}\)
\(=6a\sqrt 3 + 6\pi a = 6a\left( {\sqrt 3 + \pi } \right)\)
Ta sử dụng kiến thức:
+) Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến.
+) Trong tam giác vuông, bình phương mỗi cạnh góc vuông bằng cạnh góc vuông kia nhân với cotang góc kề.
+) Trong đường tròn \(R,\) độ dài \(l\) của một cung \(n^\circ\) được tính theo công thức: \(l=\dfrac{\pi Rn}{180}.\)
Lời giải chi tiết
+) Vì hai tiếp tuyến chung của đường tròn \((O)\) và \((O’)\) cắt nhau tại \(A\) nên \(O, O’, A\) thẳng hàng.
\(\widehat {OAM} = \widehat {OAP} = \displaystyle{1 \over 2}\widehat {MAP}\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
\( \Rightarrow \widehat {OAM} = {30^0}\)
+) Trong tam giác vuông \(OMA\) có \(\widehat {OMA} = {90^0}\)
\( \Rightarrow MA = OM.\cot \widehat {OAM}\)
\( = 4a\cot {30^0} = 4a\sqrt 3 \)
+) Trong tam giác vuông \(O’NA\) có \(\widehat {O'NA} = {90^0}\)
\( \Rightarrow NA = O'N\cot \widehat {O'AN} \)\(= a\cot {30^0} = a\sqrt 3 \)
Từ đó: \(MN = MA - NA \)\(= 4a\sqrt 3 - a\sqrt 3 = 3a\sqrt 3 \)
+) Trong tứ giác \(O’NAQ\) có \(\widehat N = \widehat Q = {90^0}\); \(\widehat A = {60^0}\)
Suy ra: \(\widehat {NO'Q} = 360^0-(90^0+90^0+60^0)\)\(={120^0}\) (tổng bốn góc trong tứ giác bằng \(360^0)\)
Độ dài cung nhỏ \(\overparen{NQ}\) là: \({l_1} =\displaystyle {{\pi .a.120} \over {180}} = {{2\pi a} \over 3}\)
+) Trong tứ giác \(OMAP\) có \(\widehat M = \widehat P = {90^0}\); \(\widehat A = {60^0}\)
Suy ra: \(\widehat {MOP} = 360^0-(90^0+90^0+60^0)\)\(={120^0}\) (tổng bốn góc trong tứ giác bằng \(360^0)\) nên số đo cung nhỏ \(\overparen{MP}\) bằng \({120^0}\)
\(sđ \overparen{MnP}\) \( = {360^0} - {120^0} = {240^0}\)
Độ dài cung lớn \(\overparen{MnP}\) là \({l_2} = \displaystyle{{\pi .4a.240} \over {180}} = {{16\pi a} \over 3}\)
Chiều dài của dây cua – roa mắc qua hai ròng rọc là:
\(2MN + {l_1} + {l_2}\)\( = \displaystyle2.3a\sqrt 3 + {{2\pi a} \over 3} + {{16\pi a} \over 3}\)
\(=6a\sqrt 3 + 6\pi a = 6a\left( {\sqrt 3 + \pi } \right)\)