Bài 7 trang 45 SGK Hình học 12 Nâng cao

Câu hỏi:

Câu a​

Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng và chiều cao bằng .
Lời giải chi tiết:

Gọi là tâm của tam giác đều .
là đường cao của hình chóp đều nên là trục của tam giác .
Trong mặt phẳng gọi là giao điểm của đường trung trực với thì là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp và bán kính của mặt cầu là .
Gọi là trung điểm của thì tứ giác nội tiếp nên:

Mà
Từ đó suy ra
Vậy thể tích khối cầu cần tìm là

Câu b​

Cho hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh cùng bằng . Gọi lần lượt là trung điểm của . Chứng minh rằng các điểm cùng thuộc một mặt cầu và tính thể tích khối cầu đó.
Lời giải chi tiết:

Gọi là đường cao của hình chóp đều thì là tâm của hình vuông và đi qua tâm của hình vuông .
Mọi điểm nằm trên đều cách đều bốn điểm .
Trên đường thẳng , ta xác định điểm sao cho thì cách đều tám điểm tức là tám điểm đó nằm trên mặt cầu tâm , bán kính .
Điểm là giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng .
Ta có:  nên tam giác vuông cân tại S suy ra  do đó ASIO vuông cân tại I và .
Từ đó suy ra
Vậy thể tích khối cầu cần tìm là: