Bài 2 trang 45 SGK Hình học 12 Nâng cao

Câu hỏi:

Câu a​

Tìm tập hợp tâm các mặt cầu đi qua hai điểm phân biệt \(A, B\) cho trước.
Lời giải chi tiết:
\(I\) là tâm của các mặt cầu đi qua hai điểm phân biệt \(A, B\) cho trước khi và chỉ khi \(IA = IB\).
Vậy tập hợp tâm của các mặt cầu đó là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng \(AB\).

Câu b​

Tìm tập hợp tâm các mặt cầu đi qua hai điểm phân biệt \(A, B, C\) cho trước.
Lời giải chi tiết:
\(I\) là tâm của mặt cầu đi qua ba điểm phân biệt \(A, B, C\) cho trước khi và chỉ khi \(IA = IB = IC\). Vậy:
+ Nếu ba điểm \(A, B, C\) không thẳng hàng thì tập hợp các điểm \(I\) là trục của đường trong ngoại tiếp tam giác \(ABC\).
+ Nếu ba điểm \(A, B, C\) thẳng hàng thì tập hợp các điểm \(I\) là rỗng.

Câu c​

Tìm tập hợp tâm các mặt cầu đi qua một đường tròn cho trước.
Lời giải chi tiết:
\(I\) là tâm của mặt cầu đi qua đường tròn \((C)\) cho trước khi và chỉ khi \(I\) cách đều mọi điểm của đường tròn.
Vậy tập hợp các điểm \(I\) là trục của đường tròn \((C)\) (tức là đường thẳng đi qua tâm và vuông góc với mặt phẳng chứa đường tròn (C)).

Câu d​

Có hay không một mặt cầu đi qua một đường tròn và một điểm nằm ngoài mặt phẳng chứa đường tròn.
Lời giải chi tiết:
Gọi \(M\) là một điểm nằm ngoài mặt phẳng chứa đường tròn \((C)\).
Lấy điểm \(A\) nằm trên \((C)\) và gọi \(I\) là giao điểm của trục đường tròn (là đường thẳng đi qua tâm và vuông góc mặt phẳng chứa đường tròn (C)) và mặt phẳng trung trực của \(MA\).
Khi đó mặt cầu tâm \(I\), bán kính \(R = IA = IM\) là mặt cầu đi qua đường tròn \((C)\) và đi qua điểm \(M\).