Bài 6 trang 84 SGK Hình học 10

Câu hỏi: Cho đường tròn \((C)\) có phương trình:
\({x^2} + {\rm{ }}{y^2} - {\rm{ }}4x{\rm{ }} + {\rm{ }}8y{\rm{ }} - {\rm{ }}5{\rm{ }} = {\rm{ }}0\)

Câu a​

Tìm tọa độ tâm và bán kính của \((C).\)
Phương pháp giải:
Đường tròn \((C): {x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0\) có tâm \(I(a; b)\) và bán kính \(R=\sqrt{a^2+b^2-c}.\)
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(a = 2, b =  - 4, c =  - 5\)
Đường tròn có tâm \(I(2;-4)\), bán kính \(R = \sqrt {{2^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2} - \left({ - 5} \right)}  = 5\)
Cách khác:
\({x^2} + {\rm{ }}{y^2} - {\rm{ }}4x{\rm{ }} + {\rm{ }}8y{\rm{ }} - {\rm{ }}5{\rm{ }} = {\rm{ }}0\)
\(\Leftrightarrow {x^2} - 2. X. 2 + {2^2} + {y^2} + 2. Y. 4 + {4^2}\)\(= 25 \)
\(\Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left({y + 4} \right)^2} = {5^2}\)
Tâm \(I(2 ; -4)\), bán kính \(R = 5\)

Câu b​

Viết phương trình tiếp tuyến với \((C)\) đi qua điểm \(A(-1; 0).\)
Phương pháp giải:
Xét xem điểm A có thuộc đường tròn (C) hay không.
Nếu A thuộc (C) thì tiếp tuyến tại A của (C) nhận \(\overrightarrow {IA} \) làm VTPT.
Từ đó lập phương trình đường thẳng đi qua A và nhận \(\overrightarrow {IA} \) làm VTVPT.
Lời giải chi tiết:
Thay tọa độ \(A(-1 ; 0)\) vào vế trái, ta có :
\((-1- 2)^2 + (0 + 4)^2 = 3^2+4^2= 25\)
Vậy \(A(-1 ; 0)\) là điểm thuộc đường tròn.
Tiếp tuyến với (C) tại \(A\) nhận \(\overrightarrow {IA} ( - 3; 4)\) làm VTPT.
Phương trình tiếp tuyến với đường tròn tại \(A\) là:
\(-3(x +1) +4(y -0) =0 \)\(  \Leftrightarrow   3x - 4y + 3 = 0\)

Câu c​

Viết phương trình tiếp tuyến với \((C)\) vuông góc với đường thẳng \(3x – 4y + 5 = 0.\)
Phương pháp giải:
Gọi phương trình tiếp tuyến cần lập có dạng: \(d: 4x+3y+c=0.\)
Khi đó ta có: \(R = d\left( {I; d} \right).\)
Từ đó ta tìm được ẩn \(c\) hay lập được phương trình đề bài yêu cầu.
Lời giải chi tiết:
Đường thẳng \(3x – 4y + 5 = 0\) có VTPT \(\overrightarrow n(3;-4)\)\( \Rightarrow \overrightarrow {{u_d}}  = \left( {4; 3} \right)\) là VTCP của d.
Tiếp tuyến \(d'\) vuông góc với đường thẳng \(3x – 4y + 5 = 0\) nên VTPT \(\overrightarrow {n'}=\overrightarrow {{u_d}}=(4; 3)\)
Phương trình \(d'\) có dạng là: \(4x+3y+c=0\)
\(d'\) tiếp xúc \((C)\)
\(\Leftrightarrow d(I, d')=R\) \(\displaystyle  \Leftrightarrow {{|4.2 + 3.( - 4) + c|} \over {\sqrt {{4^2} + {3^2}} }} = 5 \) \(\Leftrightarrow |c - 4| = 25\)
\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
c - 4 = 25 \hfill \cr 
c - 4 = - 25 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
c = 29 \hfill \cr 
c = - 21 \hfill \cr} \right.\)
Vậy có hai phương trình tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán là:
\(4x+3y+29=0\) và \(4x+3y-21=0\).