Google
Câu hỏi: Bạn Giang đã vẽ một đa giác \(ABCDEFGHI\) như ở hình bs. 26.
Tính diện tích của đa giác đó, biết rằng: \(KH\) song song với \(BC\) (\(K\) thuộc \(EF\)); \(BC\) song song với \(GF;\) \(CF\) song song với \(BG; BG\) vuông góc với \(GF; CK\) song song với \(DE; CD\) song song với \(FE; KE = DE\) và \(KE\) vuông góc với \(DE; I\) là trung điểm của \(BH, AI = IH\) và \(AI\) vuông góc với \(IH; HK = 11cm.\) \(HK\) cắt \(CF\) tại \(J\) và \(JK = 3 (cm),\) \(CJ = 4cm.\) \(BG\) cắt \(HK\) tại \(M\) và \(HM = 2cm.\)
Tính diện tích của đa giác đó, biết rằng: \(KH\) song song với \(BC\) (\(K\) thuộc \(EF\)); \(BC\) song song với \(GF;\) \(CF\) song song với \(BG; BG\) vuông góc với \(GF; CK\) song song với \(DE; CD\) song song với \(FE; KE = DE\) và \(KE\) vuông góc với \(DE; I\) là trung điểm của \(BH, AI = IH\) và \(AI\) vuông góc với \(IH; HK = 11cm.\) \(HK\) cắt \(CF\) tại \(J\) và \(JK = 3 (cm),\) \(CJ = 4cm.\) \(BG\) cắt \(HK\) tại \(M\) và \(HM = 2cm.\)
Phương pháp giải
Chia hình đa giác đã cho thành các hình vuông, hình thang và hình tam giác. Áp dụng công thức tính diện tích hình vuông, hình thang và hình tam giác để tính.
Áp dụng công thức:
Diện tích hình tam giác bằng nửa tích cạnh và chiều cao tương ứng: \(S=\dfrac{1}{2}ab\)
Diện tích hình thang bằng nửa tích hai đáy với chiều cao: \(S=\dfrac{a+b}{2}.h\)
Diện tích hình vuông cạnh \(a\) bằng \(a^2\)
Lời giải chi tiết
Chia đa giác đó thành hình vuông \(CDEK,\) hình thang \(KFGH,\) hình thang \(BCKH\) và tam giác vuông \(AIB\)
Ta có: \(MJ = KH – KJ – MH\) \(= 11 – 2 – 3 = 6 (cm)\)
\(⇒ BC = GF = MJ = 6 (cm)\)
\(CJ = 4 (cm)\)
\(\eqalign{ {S_{KFGH}} = {{HK + GF} \over 2}.FJ}\) \(= \eqalign{{11 + 6} \over 2}.2 = 17(c{m^2})\)
\(\eqalign{ {S_{BCKH}} = {{BC + KH} \over 2}.CJ}\) \(= \eqalign {{11 + 6} \over 2}.4 = 34(c{m^2}) \)
Trong tam giác vuông \(CJK\) có \(\widehat J = 90^\circ \). Theo định lý Pi-ta-go ta có:
\(C{K^2} = C{J^2} + J{K^2} = 16 + 9 = 25 \\\Rightarrow CK = 5\) \((cm)\)
\({S_{CDEK}} = C{K^2} = {5^2} = 25\) \((cm^2)\)
Trong tam giác vuông \(BMH\) có \(\widehat M = 90^\circ \). Theo định lý Pi-ta-go ta có:
\(B{H^2} = B{M^2} + H{M^2}\)
mà \(BM = CJ = 4 (cm)\) (đường cao hình thang \(BCKH\))
\(\eqalign{ & \Rightarrow B{H^2} = {4^2} + {2^2} = 20 }\) \(\Rightarrow \eqalign{IB = {{BH} \over 2} \Rightarrow I{B^2} = {{B{H^2}} \over 4}}\) \(\eqalign{= {{20} \over 4} = 5 }\)
Suy ra \({ IB = \sqrt 5 (cm) } \)
\(∆ AIB\) vuông cân tại \(I\) (vì \(AI = IH = IB\))
\({S_{AIB}} = \eqalign{1 \over 2}AI.IB = \eqalign{1 \over 2}I{B^2} = \eqalign{5 \over 2}\) \((cm^2)\)
\(S = {S_{CDEK}} + {S_{KFGH}} + {S_{BCKH}} \) \(+ {S_{AIB}} = 25 + 17 + 34 +\eqalign {5 \over 2} = \eqalign{{157} \over 2}\) \((cm^2)\)
Chia hình đa giác đã cho thành các hình vuông, hình thang và hình tam giác. Áp dụng công thức tính diện tích hình vuông, hình thang và hình tam giác để tính.
Áp dụng công thức:
Diện tích hình tam giác bằng nửa tích cạnh và chiều cao tương ứng: \(S=\dfrac{1}{2}ab\)
Diện tích hình thang bằng nửa tích hai đáy với chiều cao: \(S=\dfrac{a+b}{2}.h\)
Diện tích hình vuông cạnh \(a\) bằng \(a^2\)
Lời giải chi tiết
Chia đa giác đó thành hình vuông \(CDEK,\) hình thang \(KFGH,\) hình thang \(BCKH\) và tam giác vuông \(AIB\)
Ta có: \(MJ = KH – KJ – MH\) \(= 11 – 2 – 3 = 6 (cm)\)
\(⇒ BC = GF = MJ = 6 (cm)\)
\(CJ = 4 (cm)\)
\(\eqalign{ {S_{KFGH}} = {{HK + GF} \over 2}.FJ}\) \(= \eqalign{{11 + 6} \over 2}.2 = 17(c{m^2})\)
\(\eqalign{ {S_{BCKH}} = {{BC + KH} \over 2}.CJ}\) \(= \eqalign {{11 + 6} \over 2}.4 = 34(c{m^2}) \)
Trong tam giác vuông \(CJK\) có \(\widehat J = 90^\circ \). Theo định lý Pi-ta-go ta có:
\(C{K^2} = C{J^2} + J{K^2} = 16 + 9 = 25 \\\Rightarrow CK = 5\) \((cm)\)
\({S_{CDEK}} = C{K^2} = {5^2} = 25\) \((cm^2)\)
Trong tam giác vuông \(BMH\) có \(\widehat M = 90^\circ \). Theo định lý Pi-ta-go ta có:
\(B{H^2} = B{M^2} + H{M^2}\)
mà \(BM = CJ = 4 (cm)\) (đường cao hình thang \(BCKH\))
\(\eqalign{ & \Rightarrow B{H^2} = {4^2} + {2^2} = 20 }\) \(\Rightarrow \eqalign{IB = {{BH} \over 2} \Rightarrow I{B^2} = {{B{H^2}} \over 4}}\) \(\eqalign{= {{20} \over 4} = 5 }\)
Suy ra \({ IB = \sqrt 5 (cm) } \)
\(∆ AIB\) vuông cân tại \(I\) (vì \(AI = IH = IB\))
\({S_{AIB}} = \eqalign{1 \over 2}AI.IB = \eqalign{1 \over 2}I{B^2} = \eqalign{5 \over 2}\) \((cm^2)\)
\(S = {S_{CDEK}} + {S_{KFGH}} + {S_{BCKH}} \) \(+ {S_{AIB}} = 25 + 17 + 34 +\eqalign {5 \over 2} = \eqalign{{157} \over 2}\) \((cm^2)\)